Agora podemos fazer experimentos com o método da contagem de caixas

usando o modelo Netlogo chamado BoxCountingDimension.nlogo.

Você pode ver que ele nos permite iterar exemplos de fractais

de modo semelhante ao que fizemos com o modelo anterior.

Aqui estamos fazendo 4 iterações desse fractal, o que faremos agora

é comparar a dimensão de Hausdorff, 1,262 que nós calculamos antes

com uma aproximação obtida através da contagem de caixas.

Eu vou clicar em "Box Counting: Setup", e você pode ver que existe um comprimento inicial da caixa

que está configurado como 10, o qual você pode mudar.

Aqui está a caixa inicial desenhada bem aqui e

o incremento será 1,0, assim nós aumentaremos o comprimento da caixa em 1 unidade

a cada iteração, ok? Aqui nós vemos quantas caixas existem e coisas do tipo.

Fique de olho aqui enquanto ocorre a contagem de caixas,

aqui o modelo vai traçar o gráfico do logaritmo do número de caixas

sobre o log (1 / comprimento da caixa) para cada iteração.

Então vamos em frente, clicando em "Box Counting: Go".

Isso é semelhante ao que vimos quando colocamos

uma grade de caixas sobre a figura, nós não vemos toda a grade, apenas as caixas que contêm partes da figura

e a cada passo,

aqui vemos as iterações,

nós vemos o comprimento da caixa e a quantidade de caixas utilizadas,

e aqui esse valores são plotados no gráfico

nós vemos que eles estão começando a se aproximar de uma linha reta.

Nós continuamos, as caixas se tornam cada vez maiores,

e podemos parar clicando novamente em "Box Counting: Go" a qualquer momento

Eu não deixe executar por muito tempo mas eu tenho alguns pontos,

o que eu posso fazer é clicar em "Find Best-Fit Line" isso faz uma regressão linear

e calcula a dimensão por contagem de caixas, aqui temos 1,122

que é um tanto diferente do valor obtido na dimensão de Hausdorff que foi 1,262

isto se dá porque, lembre-se, a contagem de caixas é apenas uma aproximação.

Podemos obter uma aproximação melhor se começarmos com comprimentos de caixas menores

ou se usarmos um menor valor de incremento, mas isso, é claro, leva mais tempo.

Vamos repetir os passos com a curva de Koch, iterar, iterar, iterar, iterar, iterar, ok?

E agora a aproximação será melhorada aumentando o número de iterações.

"Box Counting: Setup" e depois "Go" e posso acelerar um pouco mais

ainda é um cálculo um tanto lento.

Netlogo não é famoso pela sua grande velocidade computacional,

é um trade off, é fácil de programar mas não é super rápido.

De qualquer forma agora você pode deixar a simulação rodando, ir tomar um pouco de café

como os cientistas da computação gostam de fazer enquanto esperam seus programas terminarem.

E deixe-o rodar por muitas iterações e veja o quão bem a dimensão por contagem de caixas

se aproxima da dimensão de Hausdorff e você verá que o próximo exercício é averiguar isso.