En este video hablaré más respecto al plano de fase y los tipos de comportamiento que son posibles en estos tipos de ecuaciones diferenciales. Entonces, primero permítanme decir un poco más respecto de los tipos de puntos fijos. Um,como antes podemos tener puntos fijos estables e inestables En 2D esto viene de repente, casi literalmente Así que esto podríia ser un punto fijo estable, o un atractor. Podría haber un manojo de lineas de fase En algun tipo de plano de fase Entonces este debería ser un punto fijo de atracción también podemos tener una situación conocida Donde las trayectorias se dirigen en espiral Hacia un punto fijo Entonces este ... dibujaré ... los puntos fijos ,y ... los puntos de equilibrio en rojo Entonces aquí esas lineas azules que se están dirigiendo hacia el punto estable pero hay un giro cuando en espiral se aproxima hacia el punto fijo entonces estos dos puntos radios que probablemente son esos Podemos tener un equilibrio repulsor Como este Si exactamente sobre el punto rojo y también podemos tener algo como... Como esto Entoces este es tambien insetable Si desciendes de esta montaña no volverás a la cima de la montaña aquí estás en la cumbre de la montaña pero si de algún modo desciencdes de la cumbre no lo harás por un costado sino que descenderás en trayectoria en espiral Entonces estos son repulsores estos son atractores estos algunas veces son llamados sumideros y estos fuentes Esta terminología es bastante común en ecuaciones diferenciales de dos dimensiones Este es un sumidero en espiral y esta una fuente en espiral Fuente porque esta es una fuente en espiral En cualquier evento, um estos son puntos fijos para, um ... Que hay sobre la ecuación de Lotka Volterra. Vimos allí que el comportamiento de la población es cíclico Um, este ciclo es estable, inestable o algo más Entonces trataremos... iterando... o en este caso resolviendo esta ecuación diferencial para condiciones iniciales levemente diferentes y cuando tenemos un plano de fase como este frecuentemente decimos que tenemos un entonces, aquí está la ecuación de Lotka-Volterra, la versión que vimos antes y vimos que , um ... que para ciertas condiciones iniciales,... olvidé cuales eran creo que ... diez zorros y seis conejos, tal vez terminamos con un ciclo como este un ciclo como este Entonces, que pasa si probamos con algunas condiciones iniciales diferentes enconces puedo hacer esto para cada condición inicia diferente para todas estas curvas van la misma dirección Entonces esta curva de Euler es la que teníamos antes con diferentes condiciones iniciales obtenemos diferentes ciclos y diferentes condiciones iniciales obtenemos diferentes ciclos también Entonces para el lado que gira cada uno de estos ciclos es neutral y lo que esto significa es que si El punto es que Entonces esto le dice que dependiendo del número de conejos y zorros que tenga, usted estará en uno de estos ciclos hay un punto neutral fijo, un punto fijo de equilibrio aquí en el medio y lo puede resolver usando álgebra Entonces el punto principal es: este es un ejemplo de representación de fase si elijjo un número de diferentes trayectorias sobre el plano de fase al mismo tiempo y nos permite resumir el comportamiento del sistema Entonces podemos ver que ... doble ciclos y ... los ciclos son neutrales porque empujan hacia afuera o se empujan entre ellos esta es la representación de la fase para la ecuación de Lotka-Volterra hay un ejemplo más que me gustaría discutir porque esto nos introduce a un nuevo tipo de comportamiento en este tipo de ecuaciones conocidas como las ecuaciones de Van der Pol derivada de x respecto de t igual a Y derivada de Y respecto de T es igual a menos X mas uno menos X al cuadrado Asi tenemos dos ecuaciones diferenciales diferentes como las que hemos estudiado antes and ,, um...uno las puede resolver empleando el método de Euler o un método similar aquí estan los gráficos X de T y Y de T para algunas condiciones iniciales X inicial de tres y una Y inicial de menos tres y tenemos este alegre parece que cada seis minutos o la unidad que sea no es exactamente la misma onda, pero cualquier forma que sea se repite cosas similares aquí que se ven como aletas afiladas o algo lo periodico parece que cada seis minutos o entonces podemos dibujar estas dos curvas en un plano de fase y obtenemos alguna clase de ciclo o lazo nuevamente entonces empezamos con X igual a 3 Y igual a menos 3 y la trayectoria en el plano de fase consigue tirar hacia el ciclo y luego hace un lazo alrededor y este no es un óvalo perfecto sino un clase de algún divertido trapezoide una clase de cosa de paralelogamo o algo, no se lo que es y el sistema X eY un ciclo alrededor OK esto no es realmente nada nuevo porque se parecen al ciclo de las ecuaciones Lotke Volterra si probamos con diferentes condiciones iniciales así, puedo hacer esto aquí están los resultado para condiciones iniciales diferentes X de T e Y de T y yo creo que esta vez elgí 0.02 y 0.02 para ambos ejes: X e Y y... y en la curva de Y vemos lo que sea esta forma y entonces nuevamente comportamiento transitorio aquí, pero hay ciclos en este comportamiento así que empezamos aquí 0.2, 0.2 entonces esta bloomey paralelogramo es un atractor, ¿Por qué?, porque múltiples órbitas tiran hacia él la representación de la fase para esto entonces esta forma es un atractor asi que tengo un ciclo atractor en el plano de fase entonces el punto es que este es un atractor y es un atractor periódico Pero de todas maneras Hasta ahora emos visto dos ecuaciones diferenciales diferentes de esta forma Podemos tener ciclos, ciclos neutrales como la ecuación de Lotke Volterra O ciclos atractores como ¿Pero que hay respecto al caos? Podemos tener caos en estos sitemas de dos dimensiones. Entonces que pensamos respecto a esto Dibujamos el plano de fase nuevamente Entonces que sobre el caos Así el caos es un sitema dinámico determinista, acotado Las orbitas deben ser acotadas y aperiodicas en el sentido de sensibles a las condiciones iniciales Enfoquémonos en estos dos criterios Las órbitas deben ser acotadas y, ... aperiodicas Entonces digamos que tenemos algún origen en Coloquemos un límite aquí en púrpura Entonces ¿Podemos tener una linea de fase aperiodica, una trayectoria aperiódica aquí Bueno, podemos argumentar Nunca puedo cruzar la línea, nunca puedo intersectar esta línea. Imaginen que están pintando el piso Pintanto el piso rojo por alguna razón, puede ser de cualquier modo, pero pintando el piso rojo Entonces, ... en todo caso la pregunta es ¿Es el caos posible? La respuesta a esta pregunta es ... no. Que dice: el comportamiento acotado ... aperiodico ... ... no es posible ... ... para dos ecuaciones diferenciales de dos dimensiones de esta forma Entonces espero que No es obvio inmediatamente, puede ser que necesitemos una prueba aquí Supongo que uno puede imaginar una curva que No podemos ver comportamiento caótico en sistemas de dos ecuaciones diferenciales. es más interesante de ecuaciones diferenciales de una dimensión porque podemos ver ciclos ciclos neutrales y ciclos de atracción en estos ciclos de lineas divertidas Pero el caos no es posible. Hablaré sobre esto en las unidades subsecuentes,... de esta sección