Есть два числа, которые не меняются при возведении в квадрат: 0 и 1.

1^2 = 1*1 = 1

Т.е. можно сказать f(1) = 1

0^2 = 0*0 = 0

Т.е. можно сказать f(0) = 0

И это - стационарные точки, точки, которые не меняются при итерации.

Итак, стационарная точка функции, это число, которое не изменяется в процессе итерации.

У функции возведения в квадрат таких точек две: 0 и 1

потому, что 0^2 = 0, значение на входе равно значению на выходе

и 1^2 = 1, также значение на входе равно значению на выходе.

И теперь мы можем сделать заключение о динамике,

общем поведении всех орбит сразу.

И сделаем мы это с помощью геометрической конструкции под названием фазовая прямая.

Вот фазовая прямая для f(x) = x^2

В данном случае нас интересуют только положительные значения x.

Я рисую прямую, это будет числовая прямая.

Здесь, в нуле, я нарисую точку, т.к. 0 - стационарная точка

и я нарисую точку в 1, по той же причине.

Любое число больше 1

становится больше, смещается вправо по числовой прямой в процессе итерации.

А если мы начинаем в интервале между 0 и 1 оно будет уменьшаться.

Вот это и есть фазовая линия для функции возведения в квадрат.

Она описывает общее поведение, конечную судьбу любого начального условия,

( положительного начального условия ) для этой функции.

Если я начинаю где-то правее 1 я двигаюсь вправо всегда,

я только увеличиваюсь.

Если я начинаю где-то здесь, между 0 и 1, я двигаюсь влево и приближаюсь сильнее и сильнее к 0.

Мы говорим, что орбиты здесь стремятся к нулю;

а орбиты здесь уходят на бесконечность или растут неограниченно или расходятся

Точка 1 - стационарная, она остается на месте, поэтому и обозначена точкой

и 0 также стационарная точка.

Сравните фазовую прямую, нарисованную здесь

с графиком временных рядов.

Они содержат примерно одну и ту же информацию.

Здесь, на графике,

мы видели, что эти два начальных условия...

(и мы могли бы добавить дополнительные точки)

любое начальное условие здесь вверху становится больше, двигается вверх.

И любое начальное условие здесь

уменьшается и стремится к нулю.

То есть эти два графика отображают схожие вещи,

но немного по-разному.

Можно заметить, что на графике временных рядов

мы можем увидеть как быстро происходит рост.

А происходит он весьма быстро,

уже следующая точка была бы за пределами графика.

На фазовой прямой мы видим только направление движения.

Мы ничего не знаем о скорости.

Все, что мы знает - что орбиты двигаются в этом направлении

или в этом направлении.

Фазовая прямая говорит нам о направлении движения

но не о скорости.

Итак, фазовые прямые и их

аналоги более высоких размерностей являются очень полезными геометрическими построениями

при описании динамики функций.

Это полностью описывает общую динамику

функции возведения в квадрат для положительных чисел.

Подведем итог:

фазовая прямая описывает следующее:

посевы более 1 уходят на бесконечность

посевы между 0 и 1 стремятся к 0

1 и 0 - стационарные точки,

но стационарные точки разного типа.

1 - нестабильная стационарная точка,

нестабильная потому, что если вы находитесь в 1

и чуть-чуть сдвигаетесь вправо или влево

вы не возвращаетесь, вас уносит в сторону.

Это нестабильная ситуация,

как будто сидеть на вершине холма -

небольшой толчок и вы скатываетесь в том или ином направлении.

Напротив, мы говорим, что 0 - стабильная стационарная точка.

Стабильная потому, что если мы в 0 и чуть-чуть смещаемся вправо

нас возвращается назад в 0,

- это стабильная стационарная точка, стабильная ситуация.