In deze video gaan we kijken naar
de groei en evolutie van types
de types kunnen van alles zijn
zoals genotypes van een populatie
of molecules in een proefbuis
laten we eerst kijken naar de groei
van een enkel type
x toont hoeveel van deze types we hebben
hoeveel molecules
wat de concentratie is, en zo verder
w is de groeisnelheid van dit type
en als we van het ene tijdstip
naar het volgende gaan
x' is de concentratie van
het aantal moleculen van
het volgende tijdsstip
als we t tijdstippen verder willen kijken
dan zetten we w tot de macht t
en dan is xt gelijk aan wt maal x nul.
kijk naar wat er gebeurt als we dat doen
ik zet w gelijk aan 1.1
en ik start met X0 gelijk aan 1
we zien de groei van dit enkele type
het type neemt toe van 1
tot 10 en verder
en laten we nu kijken naar wat gebeurt
als de groeisnelheid lager is dan 1
laten we een groeisnelheid kiezen van 0.9
en al de rest hetzelfde
nu zien we dat het type vermindert
in frequentie
het start bij 1 en daalt exponentieel
naar nul
deze daling onder 1 is gekend als
de uitstervingsdrempel
als een type of molecule
onder de uitstervingsdrempel valt
zal het gewoonweg verdwijnen
de meeste moleculen rondom ons
bezitten deze eigenschap
en enkel moleculen die zichzelf
met hoge getrouwheid vermenigvuldigen
kunnen tot boven
de uitstervingsdrempel stijgen
de uitstervingsdrempel is niet hetzelfde
als de foutencatastrofe
waarover we hier gaan praten
de foutencatastrofe vindt niet plaats
als een type uitsterft
maar als het zichzelf niet in stand
kan houden tegen andere types
we kunnen meer dan één type
voorstellen als een vector
in een populatie
laten we naar twee types kijken
x is nu de vector
met één van type één
en één van type twee
en als x de vector is
kunnen we de groei voorstellen
als een diagonale matrix
W is de groei matrix
en hier neem ik 1.1 en 0.95
we gaan van één tijdsstip
naar het volgende
waarbij x' gelijk is aan W, de matrix,
maal x, matrixvermenigvuldiging
als we W met x vermenigvuldigen
krijgen we 1.1 en 0.95
type één is dus gegroeid met 10%
en type twee is gedaald met 5%
als we W twee keer willen toepassen
we doen W maal W maal x0
en je ziet dat we W links plaatsen
we voegen links meer en meer W's toe
dat is zo omdat ik gekozen heb
dat x een kolom vector is
als ik x als rijvector had genomen
dan zette ik x links en de W's rechts
we kijken naar x op tijdsstip t
door gewoon de matrix tot de
macht t te verheffen, maal x0
laten we dat doen
we beginnen weer met 1.1
we nemen de W matrix zoals daarnet
en hier zie je de groei van beide types
type één groeit exponentieel in frequentie
type twee daalt want de groeisnelheid is
lager dan een en daalt naar nul
type één neemt de populatie over
je kan nu denken dat dit
elk soort populatie beschrijft
als we mutatie hebben
dan zouden we slechts enkel type één
als het wildtype hebben
als het aanwezige type
en alle andere types worden voorgesteld
als kleine mutanten
het is gebleken dat dit niet bepaald
een goede beschrijving is van een soort
in de meeste gevallen.
in de meeste gevallen wordt een soort niet
vertegenwoordigd door één optimaal type
en alle andere, weinig voorkomende, types.
Laten we het plot dat we hier hebben
als een log-plot.
Nu zien we dat type 1 exponentieel
toeneemt, als een rechte lijn
in een log-plot
en type 2 daalt exponentieel.
We gaan mutaties toevoegen.
Ik voeg nu een mutatie van 10% toe
en mutaties worden simpelweg voorgesteld
door een stochastische matrix M,
waarin type 1 zichzelf in stand houdt
met een probabiliteit van 1 minus µ,
en muteert naar type 2 met
probabiliteit µ.
Type 2 muteert niet, het blijft bestaan
als type 2 en muteert niet naar type 1
We nemen M,
we starten van dezelfde x0 zoals daarnet,
en laten we nu kijken naar wat gebeurt
als we muteren.
Aangezien type 1 muteert naar type 2,
zien we dat er minder type 1 is,
en meer type 2.
Nu willen we de dynamiek voorstellen
met zowel mutaties als groei.
Dit doen we door gewoon de matrices
te vermenigvuldigen, W maal M.
Het is ook mogelijk M met W
in de omgekeerde volgorde
te vermenigvuldigen,
en dat zegt gewoon wat eerst gebeurt,
groei of mutatie.
Aangezien groei volgt na mutatie,
na groei, na mutatie,
is het niet belangrijk in welke volgorde
we dit doen.
Ik koos simpelweg W maal M omdat
het algoritme zo beter loopt.
Als we W maal M, de matrix, nemen
en die diagonaal voorstellen,
is het gemakkelijker te kijken naar de
matrix macht.
Als W maal M gelijk is aan
V maal D maal D-1,
waarin D de diagonale matrix is
en V is de eigenvector matrix,
met de eigenvectors