在最后一部分中,我向您展示了返回地图的工作原理, 如何在它们和时域之间来回切换, 以及它们如何帮助您了解动力学, 以及如何在参数值变化时理解动力学中的分叉。 我完成了第三次表示,分叉图。 这是逻辑图的分岔图。 在纵轴上是一组逻辑映射的迭代, 在一些参数值R处,其在水平轴上绘制。 只是为了提醒你这种情节和时域之间的对应关系, 以及返回地图,我要画几张照片。 这是逻辑映射的轨道的时域图, 其在参数R的低值处收敛到固定点。 在返回地图上,此轨道看起来像这样。 要构建分岔图,可以消除瞬态; 也就是说,你迭代了很多次,把这些点扔掉了, 然后再迭代一堆,然后你绘制这些点, 好像你正在从侧面看那个顶部的边缘。 在这种情况下,那些点将全部落在彼此之上。 同样分支图的每个垂直切片 都是这样的一个时域图, 从侧面看, 瞬态被移除。 如果我们将R调高一点,时域图将如下所示, 返回图将如下所示, 分叉图上的点将看起来像2个点。 同样,三种不同的表示形式提出了三种不同的东西: 左上角的时域图表显示了迭代的整体行为; 左下方的返回映射表示 迭代进入原点的几何形状, 以及连续迭代之间的相关性; 分岔图表示随着R变化(包括分叉), 轨迹的渐近行为会发生什么变化。 现在,如果你重复我们刚刚完成的程序更精细, 但使用计算机而不是平板电脑和手写笔,你会看到的是这个。 实际上还有一个步骤, 我们将在这个细分市场结束时再回来。 现在,您可以在此图中看到各种结构。 这是该细分市场的主要焦点。 首先,你看到低R的固定点出现在这里, 然后在这里分成2个周期, 在这里分成4个循环,然后最终进入一个 混沌。这就是这种灰色的带状行为。 如果你从屏幕的右侧边缘看它, 这就是右边的划分。 在混沌的区域,你也会看到这些“面纱”: 吸引区域比其它区域更灰暗。 那些面纱与所谓的“不稳定的周期轨道”有关, 我们稍后会详细讨论它们。 正如我们所见,这个分叉序列 从固定点到2个周期,到4个周期,到8个周期,依此类推。 由于显而易见的原因,这被称为“倍周期级联”。 我还在最后一段向你展示了混乱中有秩序区域; 也就是说,对于某些R值,存在混沌, 但如果你稍微提高了R,那么你又回到了一个周期性的区域。 这个特定的周期性制度以3个周期开始,然后进入6个周期 和12个周期,依此类推。 所以这是另一个倍周期分岔序列。 您可能还记得,在本课程的第一部分, 看了篇名为的论文的标题“周期-3意味着混乱”。 在这张地图中有一个3期轨道的事实是非常非常重要的。 如果人们对此感兴趣,我可以录制一个辅助视频。 关于这个结构的另一个有趣的事情是 它包含自身。 如果要放大红色圆圈内的那块结构, 它看起来就像是整个结构。 也就是说,这是一个分形对象。 我相信很多人都听说过分形。 分形是具有非整数的集合豪斯多夫维 (数学上,这是正式术语)。 非正式地说,是“自相似的”。 第二行图像显示了一个叫做Koch曲线的东西。 构造这个分形的方法是采用等边三角形, 然后取3个等边三角形,边长为1/3, 并将它们粘贴在那个物体的每个暴露面上。 然后你迭代; 你拿小三角形 把它们粘在每个尖尖的面的两侧 最终你会得到一个看起来很像雪花的美丽结构。 分形在数学中起着有趣的作用。 在自然界中也存在许多分形和分形结构的例子。 这是一个例子。 分形也是计算机图形中与自然有用的类比。 这是美丽的分形,称Mandelbrot set (曼德博集) 。 这段视频告诉你,如果放大曼德博集, 你会看到越来越多的结构; 事实上你会看到自相似的结构。 有一个全新的Mandelbrot曼德博集。 你可以继续放大和放大, 你会看到自相似的结构。 我在本课程的Complexity Explorer网站 的补充材料部分添加了该视频的链接, 就在这里,在本单元的这一部分的部分下。 您应该去那里找到 您可能需要做的功课的链接, 像这个Logistic Map应用程序, 对于像这篇论文的材料,你会看到 如果你想了解更多有关这些概念的信息 我在那个部分谈过的。 我还提供了一些教程材料的链接 以及其他可能对你有帮助的事情,如果你需要一些背景来补充 这是一个重要的事情:分形和混沌之间的联系。 有一种联系,但不是当且仅当 许多混沌系统都有一些分形结构, 但并非所有混沌系统都具有分形结构的情况; 也就是说,有些混乱的系统没有分形结构, 肯定有大量的分形与混乱无关, 但科普出版社已将这两个主题混为一谈。 如果您想了解有关分形的更多信息, 你可以看一下 Dave Feldman (戴夫费尔德曼) 在MOOC上的课程。 最后一点,与瞬态长度有关: 对于某些R值,瞬态真的很长? 您认为这将如何在分叉图中体现出来? 也就是说,这里有一些固定点,但轨迹是 用很长时间才到达这些点。 在分叉图上看起来像是这样的。 我试图从轴上画出一系列的点, 然后慢慢地越来越近,但是要永远地到达那里。 因此如果我们想要看到渐近行为, 我们想要抛弃瞬态, 但是如果我们 想在这里摆脱瞬态,我们需要抛出多少点? 我们真正需要做的是很多次迭代 但没有绘制这些点, 然后从那个轨道的终点, 很多次迭代,并绘制这些点。 这相当于省略了瞬态。 但问题是,这些: 你如何选择要迭代多少点才能摆脱瞬态, 你如何选择要绘制的点以便获得非常好的图片?这些都很棘手。 您希望红色束数足够大,以便您可以看到结构 但不是很大,以至于绘制点的有限大小会遮挡结构。 你想扔出足够多的点,因此瞬态真的已经消失了, 但这有多长? 真的,没有办法知道。 它们往往在分叉之前变长。 在练习中你所做的是增加你在绘图之前扔掉的点数, 直到周期轨道清晰。 那些扔掉的点远远超过了分叉, 当然,瞬态很短, 但除此之外,你的轨道会在分叉点附近变厚。 所有这些都将在下一部分中发挥作用, 我们将深入研究分岔图中收缩宽度和高度背后的模式。