نستخدم الكثير من التمثيلات المختلفة في الديناميكا غير الخطية
لفهم ماذا يحدث. لقد رأيت اثنان:
الفراغ المادي، مثلما عندما كانت الكاميرا على النواس،
ورسم المجال الزمني البياني على المحاور x_n مقابل n.
هناك العديد من المحاور الأخرى المفيدة جداً، والغاية من هذا القسم
هي تقديم واحدٌ منهم لك.
إنّه يدعى تطبيق الإرجاع، وإنّه معروفٌ أيضاً برسم الترابط البياني،
وأحياناً برسم نسيج العنكبوت البياني.
إنّها طريقة مختلفة لرسم التكرارات بيانياً لتطبيق 1D
أو لبيانات عددية أخرى.
بالمناسبة، "عددي" يعني عدداً واحداً فقط، ليس شعاع.
بدلاً من x_n مقابل n، نرسم x_n+1 مقابل x_n بيانياً.
تطبيق الإرجاع مفيد لأنّه يأتي بالترابطات
بين النقاط المتتالية، لذلك الاسم البديل "رسم الترابط البياني".
"(أولاً)" بسبب هذا الـ "1" بإمكانك أيضاً أن ترسم تطبيق إرجاع "ثاني" بيانياً
إذا رسمت x_n+2 بيانياً. قد تقوم بذلك إن كنت مهتماً باكتشاف
فيما إذا كان هناك ترابط ضغطتين هام نوعاً ما يجري
في بياناتك.
وفي المقابل، رسم المجال الزمني البياني. مفيد لأنّه يأتي بأنماط
زمنية شاملة للتكرارات. تطبيق الإرجاع، والذي
ما سأدعوه معظم الوقت، مفيدٌ جداً أيضاً لأنّه يعطينا
تقنية حل بيانية.
ها هي الفكرة: تخيل أنّنا إن كنا نعمل بالتطبيق اللوجيستي.
تحدد تلك الدالة على الجهة اليمنى هنا، قطع مكاقئ مقلوب
على هذه المحاور. هذه هي الدالة R(x_n)(1-x_n). إذا ازدادت R،
سيرتفع القطع المكافئ ذلك قليلاً.
الآن، هناك ميزة أخرى هامة على رسم بياني كهذا:
الخط الذي يحدد الدالة x_n+1 = x_n.
الآن تذكر تعريف النقطة الثابتة. نقطة ثابتة x* هي نقطة حيثما
الديناميكا لاتتحرك.
إذاً، النقاط الثابتة لهذا النظام يجب أن يكونوا على الخط الأخضر ذلك،
ويجب أن يكونوا على القطوع المكافئة الزرقاء أيضاً.
إذاً، يمكنك أن ترى، أنّ نقاط التقاطع هي حيث يمكن أن تكون النقاط الثابتة.
سواءً كانت نقطة تقاطع خاصة أو لا، تعتمد النقطة الثابتة الجاذبة على
هندسة القطع المكافئ الأزرق، وعلى الخط الأخضر، كم سنرى.
لكن أولاً، أريد أن أريك كيف تستخدم فعلاً هذا النوع من الرسوم البيانية
كتقنية حل بيانية. تخيل أنّك تبدأ عند، فلنقل، x_0= "هنا".
عندئذٍ، تأثير تقييم التطبيق اللوجيستي ليسير بشكلٍ مستقيم
إلى المنحني الأزرق ذاك. إذاً، ذلك الخط العمودي هو تقدير دالة
التطبيق اللوجسيتي R*x-0 (1-x_0). ثمّ لاكتشاف ما هي x_n+1، تنظر إلى
مدى ارتفاع تلك النقطة، والتي يمكنك أن تفكر بها أيضاً كالمشي أفقياً على
الخط الأخضر. إذاً، ها هنا x_1، ومهمتنا التالية هي اكتشاف x_2،
والذي يعادل الذهاب إلى هذه النقطة والسير أفقياً إلى المنحني الأزرق.
من الصعب رؤية هذا قليلاً: سأقوم برسمة أكبر لكي ترى ما أعنيه.
ولقد استخدت الألوان هنا لكي أميّز الحركات الأفقية،
والذي هم تقييم الدالة، والأسهم الأفقية،
والذي يضبطون النتائج بشكلٍ فعّال، مساويةً للتكرارات التالية.
الآن، يمكنك أن تستمر بهذه العملية، (آمل أن تفهم الفكرة هنا)،
وتخبرك هذه النقاط على المنحني مكان التكرارات.
حسناً، سؤال مثير للاهتمام: هلى هذه نقطة ثابتة؟ ماذا تعتقد؟ سأقول إنّها كذلك،
لأنّ المسارات من الشروط الإبتدائية القريبة تتقارب لها.
إذاً، إنّها نقطة ثابتة مستقرة. دعوني أرسم صورة أخرى لقيمة R أعلى.
وبالمناسبة، أحدهم يقوم بقرقعة غلاف بلاستيكي في الشقة المجاورة، لذلك أعتذر
عن التقاطع بي الحين والآخر في التسجيل الصوتي.
تذكر أنّي قلت أنّ رفع الوسيط R يسبب بارتفاع القطع المكافئ
للأعلى قليلاً. ها هنا وضع لأحد قيم R المرتفعة هذه.
دعونا نرى ماذا يحدث مع تقنية الحل البيانية تلك.
إذاً، ماذا يحدث هنا؟ حسناً، لم تعد هذه النقطة الثابتة مستقرة.
إنّها مثل النقطة المأخوذة من نواسي نوعاً ما.
وذلك إذا بدأت بشرط إبتدائي كان مساوياً بشكلٍ دقيق وعلى نحوٍ تام
لـ x* تلك، والتي هي مساوية لبداية النواس.
متوازنة بشكلٍ تام عند النقطة المأخوذة، عندئذٍ سيبقى النظام متوازناً.
إذاً، لا تزال هذه نقطة ثابتة، إنّها فقط نقطة ثابتة غير مستقرة.
إذاً، ماذا تعتقد أنّها كانت حول هندسة المنحني الأزرق
والخط الأخضر الذي جعل إحدى هذه النقاط الثابتة مستقرة، وإحداها غير مستقرة؟
ماذا تعتقد؟
كتلميح، لقد كان له علاقة بميل المنحني الأزرق عند النقطة الثابتة.
بالمناسبة، إذا رسمنا تسلسل المدارات هذا في المجال الزمني،
سنحصل على شيءٍ ما كهذا. وهو ذلك التقارب التذبذبي الذي رأيناه
في التطبيق الأسبوع الماضي. هذا التسلسل تذبذبي أيضاً،
لكن سعة التذبذب تزداد.
ولقد رأينا أيضاً تقارب غير تذبذبي الأسبوع الماضي. سيطابق ذلك
تسلسل تكراري والذي بدا كهذا التسلسل على تطبيق الإرجاع.
أخيراً، هل تتذكر الدورة-اثنان؟
ها هنا ما يجب على أشكال المنحنيات أن تبدوا عليه على تطبيق الإرجاع بالنسبة لذلك الوضع
لكي تنشأ.
في الواقع إنّه من المفيد التفكير بتطبيق إرجاع ثاني عندما نفكر
بدورة-اثنان كهذه. هنا، إنّنا نرسم x_n+2 مقابل x_n بيانياً، وإذا
كان مدار دوري مع دورة 2، عندئذٍ يجب أن تكون نقطة ثابتة على هذه المحاور.
يمكنك أن تحصل على الشكل الرياضي لذلك من خلال تركيب التطبيق اللوجيستي مع نفسه
كا فعلت للتو. وها هو ما سيبدو عليه شكل ذلك على الرسم البياني.
ويمكننا أن نرسم نفس الخط الأخضر على الرسم البياني هذا ونفكر بما تعنيه تلك
النقطة المحاطة بالأسود: تلك نقطة ثابتة لتطبيق الضغطتين -
التطبيق اللوجيستي مكوّن من نفسه، مطبّق على x_n. ذلك تطبيق جديد،
دعونا ندعوه L^، ونقطة ثابتة من تطبيق الضغطتين هو دورة-اثنان
لتطبيق الضغطة الواحدة.
تمثيلات تطبيق الإرجاع مفيدة جداُ. أنّها لا تساعدك فقط على فهم
سبب ذهاب التكرارات إلى حيث تذهب، ذلك كيف تؤثر الديناميكا
على حالة النظام، لكنها تساعد أيضاً على فهم سبب حدوث التشعبات.
في القسم التالي، سنتعمق في التشعبات أكثر قليلاً.