Nell'ultimo segmento, avete visto che la progressione delle iterazioni della mappa logistica convergeva ad
un asintoto. In questo segmento, sarò più precisa riguardo la definizione e
la terminologia che riguarda ciò. E vi mostrerò cosa succede per diversi
valori delle condizioni iniziali x_0 e del parametro, R.
Prima di tutto, il concetto di progressione di iterazioni, x_0, x_1, e così via.
E' chiamata orbita o traiettoria del sistema dinamico.
Una orbita o traiettoria è una sequenza dei valori delle variabili di stato del sistema.
La mappa logistica ha una variabile di stato, x. Altri sistemi possono averne più di una.
Il mio pendolo, ad esempio, quello che avete visto nel primo segmento. Dovete sapere
la posizione e la velocità di entrambi i bracci del pendolo per sapere qual è lo stato.
CI ritorneremo nella terza unità del corso.
Il valore iniziale della variabile di stato nella mappa logistica, x_0, viene chiamato la condizione iniziale.
La traiettoria della mappa logistica dalla condizione iniziale, x=0.2, con R=2, raggiunge
ciò che viene chiamato un punto fisso. Questo è l'asintoto dopo ciò che viene chiamata transizione.
Vi ho disegnato la figura l'ultima volta. ecco di nuovo l'immagine.
Tecnicamente, un punto fisso è lo stato del sistema che non si muove a causa
della dinamica. Cioè, il punto fisso a cui l'orbita della mappa logistica converge, è
ciò che viene chiamato punto fisso di attrazione.
Ci sono altri tipi di punti fissi che vi mostrerò con il mio pendolo.
Quindi è certamente un punto fisso delle dinamiche. Il sistema è qui e
le dinamiche non lo muovono. Ed è un punto fisso di attrazione, perché se perturbo
un po' il sistema, la perturbazione si restringe, facendo ritornare il dispositivo al punto fisso.
Quindi è un punto fisso di attrazione. Come ho detto, ci sono altri tipi di punti fissi.
Questo è uno di loro. O, ce n'è uno qui. Non ho mai visto il pendolo che si fermi qui.
C'è un punto qui per il pendolo che rimarrà in equilibrio.
Quindi è un punto fisso nel senso che il sistema non si muoverà da lì,
ma è un punto fisso instabiole.
Ci sono altri due punti fissi instabili nel sistema, questo e questo.
Di nuovo, tutti questi punti sono stati del sistema in cui la dinamica è stazionaria.
La definizione che ho appena dato comprende entrambi questi tipi di punti fissi.
Gli stati che non si muovono sotto l'influenza delle dinamiche, ma che non dicono quando
sono stabili, cioè se sono di attrazione, o instabili, cioè che respingono,
come i punti invertiti del pendolo.
I sistemi dinamici hanno parecchi tipi di comportamenti asintotici.
Ci sono sottoinsiemi dell'insieme di stati possibili in cui le cose convergono quando il tempo va all'infinito.
Questi sono chiamati attrattori.
Gli attrattori, a proposito, hanno qualcosa di circolare che finisce
quando la transizione termina. C'è un modo per formalizzare che metterò in un video ausiliario,
se le persone sono interessate.
I punti fissi di attrazione sono un tipo di attrattori.
Ci sono altri tre tipi. Di qualcuno ne parleremo nel prossimo segmento,
e di tutti nel corso delle prossime due settimane. Tornando ai punti fissi,
ricordate questa dimostrazione? Usando la applicazione della mappa logistica, che mostrava che molte
condizioni iniziali differenti andavano allo stesso punto fisso.
Quindi se usiamo la condizione iniziale 0.1, e il valore di parametro 2.2, abbiamo
questo punto fisso. Proviamo qualcosa di diverso.
Differente transizione, stesso punto fisso.
Differente transizione, ancora va allo stesso punto fisso.
Questo comportamento, quando molte condizioni iniziali
portano allo stesso attrattore, lo chiamiamo bacino di attrazione.
Se siete degli Stati Uniti, c'è una facile analogia per voi per capire questo.
Nel mezzo degli Stati Uniti, c'è una cosa chiamata "continental divide".
Si trova circa dieci miglia ad ovest da qui e una goccia che cade a ovest cadrà
nell'Oceano Pacifico.
Una goccia che cade ad est cadrà nell'Oceano Atlantico
o forse nel Mississippi, dall'altra parte.
L'analogia è che l'Oceano Atlantico è un attrattore e il terreno a est
del "continental divide" è il bacino di attrazione di quell'attrattore.
L'Oceano Pacifico è un altro attrattore, e il terreno ad ovest del
"continental divide" è un suo bacino di attrazione, e il bordo del bacino
di attrazione divide questi due bacini.
Che cosa pensate succeda a una goccia che cade esattamente su questa linea di confine?
Ora torniamo indietro e osserviamo cosa succede se modifichiamo il parametro R con
x_0 fissato, cioè usiamo la stessa condizione iniziale. Usiamo R=2.3, R=2.4, R=2.5,
come ho detto nell'ultimo segmento, il punto fisso si sposta. E' come la popolazione
di conigli che si stabilizza ad un numero più elevato se le volpi sono meno affamate
o il tasso di natalità dei conigli è più elevato.
Se osservate da vicino, vedrete che è diversa la durata della transizione.
L'ho appena fatto. R=2.2, la popolazione si stabilizza molto velocemente. Occorre un po' di più se R=2.3.
L'analogia è che la popolazione ci mette un po' di più a convergere a questo
punto fisso, proporzione di volpi e conigli. Potreste anche aver notato, questa piccolo picco,
qui, che è più pronunciato se aumentiamo ulteriormente R.
Questo è R=2.6, questo è R=2.7. Ciò che succede qui è che l'orbita è ancora convergente a un
punto, ma invece di convergere in un punto unico, oscilla, converge ad un'oscillazione.
E' come se schiacci la macchina sul cofano, e questa rimbalza
su e giù per un po' prima di stabilizzarsi.