En el último segmento,
vimos que la Progresión
de iteraciones del mapa logístico
converge en una asíntota,
En este segmento,
voy a tener un poco más
con las definiciones y
Terminología en torno a todo esto.
Te voy a mostrar lo que pasa
parar Diferentes Valores de las condiciones iniciales x_0
y el parámetro R.
En primer lugar,
a esa noción de progresión
de iteraciones, x_0, x_1
y así sucesivamente
Es lo que se llama una órbita o una Trayectoria del sistema dinámico.
Una órbita o una trayectoria es una Secuencia de Valores
de las variables de Estado del sistema
El mapa logístico tiene una variable
de Estado X
Otros sistemas pueden tener
más de una variable de estado
Mi péndulo, por ejemplo,
que vieron en el Primer segmento.
Se Necesita saber
La posición y velocidad
de ambos pesos del Péndulo
para decir en qué estado está
Retomará este tema en la tercera unidad del curso
El valor inicial de la variable de estado
En el mapa logístico, x_0,
se denomina
Condición inicial
La trayectoria del mapa logístico
desde el condición inicial,
x = 0.2
con R = 2,
alcanza lo que se llama un punto fijo
Esa es la asintota,
después de pasar por lo que se llama una transiente,
Dibujé esa foto la última vez.
Aquí la muestro nuevamente.
Tecnicamente, un punto fijo es
un estado del Sistema
que no se mueve bajo la Influencia
de la dinámica.
Es decir, el punto fijo
en que la órbita del mapa
logístico converge,
es lo que se llama un
punto de atracción Fijo.
Hay otros tipos de puntos fijos
como Mostraré con mi péndulo
Así que este es,
sin duda, un punto fijo de la dinámica.
El sistema está ahí
y la dinámica no hace que se mueva,
Y es Un punto fijo de atracción,
porque si yo perturbo un poco,
esa perturbación se reducirá,
Regresando el dispositivo al punto fijo.
Ahora, eso es un atractor de punto fijo.
Como dije, hay otros tipos de puntos Fijos.
Este es uno de ellos.
O, hay uno aquí.
Nunca he conseguido que el péndulo se siente.
Hay un punto aquí donde el péndulo se equilibra
Por eso es un punto fijo
en el sentido que
el sistema no se moverá de allá,
Pero es
un punto fijo inestable.
Hay otros dos puntos fijos inestables
en este sistema,
Este
y este otro
de nuevo, todos estos puntos
son estados del sistema
donde la dinámica
es estacionaria
Esta definición que acabo de dar recoge ambos tipos de puntos fijos,
estados que no se mueven
bajo la influencia de la dinámica,
pero no le indican cuando
son estables, si se atraen,
o inestables si se repelen
Como el punto invertido del péndulo.
Los sistemas dinámicos tienen
tipos diferentes de comportamientos asintóticos
Subconjuntos del conjunto de estados posibles
a los que las cosas convergen
con el tiempo hasta el infinito
Estos se llaman atractores.
Los atractores, por cierto,
tienen cierta definición circular
como lo que queda después
que la transiente se extingue,
Hay una manera de formalizar eso,
que verán en un video extra, si les interesa.
la atracción de puntos fijos
es un tipo de atractor.
Existen otros tres de los que hablará
en el segmento próximo, y de todos
ellos en el transcurso de las próximas dos semanas.
Ahora, volvamos a los puntos fijos.
¿Recuerdas esta demostración?
Usando la aplicación del mapa logístico,
que mostrá que varias de las diferentes
condiciones iniciales van al mismo punto fijo.
Así que si usamos la condición inicial
0.1, y el valor del parámetro 2.2,
vamos a este punto fijo.
Probemos algo diferente
Diferente transiente, igual punto fijo.
Diferente transiente,
aun conduce al mismo punto fijo.
La forma en que pensamos
sobre ese comportamiento,
es que un grupo de condiciones iniciales
van al mismo atractor,
se define algo llamado Una cuenca de atracción.
Si eres de los Estados Unidos,
hay una analogía Fácil para que entiendas esto
En el medio de los Estados Unidos,
hay algo llamado la división continental
Corre unas diez millas
al oeste de donde me ubico en este momento,
y una gota de lluvia que cae
al oeste de la división continental
corre hacia el océano pacífico
Una gota de lluvia que cae al este de la La división
correrá hacia el Atlántico.
o tal vez al Mississippi
y fuera de esa manera
La analogía aquí es que el océano Atlántico
es un atractor
y en el terreno al este
de la división continental
se encuentra la cuenca de atracción.
El Océano Pacífico es otro atractor,
y El terreno al oeste de la división continental
es la cuenca de atracción de ese atractor,
y el límite de la cuenca divide
esas dos cuencas.
¿Qué crees que pasará con una gota de lluvia
que cae exactamente, en el límite de la cuenca?
Ahora volvamos y exploremos lo que pasa
Si cambiamos el parámetro R
manteniendo x_0 fijo,
es decir, usando la misma
condición inicial.
R=2.3,
R=2.4,
R=2.5,
Como mencioné en el último segmento,
el punto fijo de mueve.
Eso es como la población
de conejos,
estabilizándose en un número mayor
Si los zorros tienen menos hambre o
la tasa de natalidad de
los conejos es mayor.
Ahora si miras detenidamente,
verás que Las longitudes de las transientes
difieren en ese experimento
Lo acabo de hacer: R=2.2,
la población se estabilizó muy rápido
Tomé un poco más de tiempo en R=2.3
La analogía es que la población
Toma un poco más de tiempo para convergeren esa relación
de punto fijo de conejos y zorros,
noté además este pequeño rebasamiento
aquí, que se pronuncia más si elevamos R,
Hay R = 2.6,
R = 2.7,
lo que está pasando aquí es que la órbita
sigue convergiendo a un punto fijo,
pero en vez de converger en un lado,
converge en una oscilación
Es algo así como, si presionas hacia abajo
en el capot de tu coche, y el coche rebota
Arriba y abajo por un instante,
antes de establecerse.