Στο τελευταίο κομμάτι, είδατε την πρόοδο των επαναλήψεων της εξίσωσης να συγκλίνει
σε μια ασύμπτωτη. Σε αυτό το κομμάτι, θα είμαι πιο προσεκτική με τους ορισμούς και την
ορολογία γύρω από αυτά. Και θα σας δείξω τι γίνεται για διαφορετικές
τιμές αρχικών συνθηκών x_0 και της παραμέτρου R.
Πρώτα απ'όλα, αυτή η ιδέα της προόδου των επαναλήψεων ,x_0, x_1 και πάει λέγοντας.
Αυτό ονομάζεται τροχιά του δυναμικού συστήματος
Η τροχιά είναι μια σειρά των τιμών των καταστατικών μεταβλητών του συστήματος.
Η εξίσωση logistic έχει μια καταστατική μεταβλητή, x. Άλλα συστήματα έχουν περισσότερες από μία.
Το εκκρεμές, για παράδειγμα, αυτό που είδατε στο πρώτο μέρος. Χρειάζεται να γνωρίζετε
την θέση και την ταχύτητα και των 2 βαριδίων του εκκρεμούς για να πούμε σε ποια κατάσταση είναι
Θα ξανάρθω σε αυτό στην ενότητα 3 του μαθήματος.
Η αρχική τιμή της καταστατικής μεταβλητής στον χάρτη logistic,x_0, ονομάζεται αρχική κατάσταση.
Η τροχιά του χάρτη logistic από την αρχική κατάσταση , x=0 με R=2, φθάνει
σε αυτό που ονομάζουμε καθορισμένο σημείο. Αυτή είναι η ασύμπτωτη μετά την μεταβατική φάση.
Ζωγράφισα αυτήν την εικόνα για εσάς την τελευταία φορά. Ορίστε ξανά η εικόνα.
Τεχνικά, το καθορισμένο σημείο είναι η κατάσταση του συστήματος η οποία δεν κινείται κάτω από την επιρροή
της δυναμικής. Το καθορισμένο σημείο στο οποίο η τροχιά του χάρτη συγκλίνει,
ονομάζεται ελκυστικό καθορισμένο σημείο.
Υπάρχουν και άλλα είδη καθορισμένων σημείων όπως θα σας δείξω στο εκκρεμές μου.
Έτσι αυτό είναι βεβαίως ένα σταθερό σημείο. Το σύστημα είναι εκεί και η
δυναμική δεν το κινεί. Και είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο, επειδή εάν το διαταράξω
λίγο, αυτή η διατάραξη θα μαζευτεί, γυρνώντας το όργανο στο καθορισμένο σημείο.
Τώρα, αυτό είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο. Όπως είπα υπάρχουν και άλλα είδη καθορισμένων σημείων.
Αυτό είναι ένα από αυτά. Ή, είναι αυτό εδώ. Ποτέ δεν κάθισε το εκκρεμές έτσι όπως εδώ.
Υπάρχει κάποιο σημείο εδώ στο εκκρεμές που θα ισορροπήσει.
Έτσι αυτό είναι ένα καθορισμένο σημείο με την έννοια ότι το σύστημα δεν θα κινηθεί από εδώ,
αλλά είναι ασταθές καθορισμένο σημείο.
Υπάρχουν άλλα δύο ασταθή καθορισμένα σημεία σε αυτό το σύστημα. Αυτό, και αυτό.
Ξανά, όλα αυτά τα σημεία είναι καταστάσεις του συστήματος όπου η δυναμική είναι στατική.
Αυτός ο ορισμός που έδωσα συλλαμβάνει και τα δύο είδη καθορισμένων σημείων.
Καταστάσεις που δεν κινούνται κάτω από την επίδραση της δυναμικής, αλλά δεν σου λένε εάν
είναι σταθερές (ελκυστικές) ή είναι ασταθείς (απωστικές),
όπως το ανεστραμμένο σημείο στο εκκρεμές.
Τα δυναμικά συστήματα έχουν πολλά διαφορετικά είδη ασυμπτωτικών συμπεριφορών.
Υποσύνολα του συνόλου των πιθανών καταστάσεων στις οποίες τα πράγματα συγκλίνουν όσο ο χρόνος τείνει στο άπειρο.
Αυτοί ονομάζονται ελκυστές.
Οι ελκυστές έχουν έναν κυκλικό ορισμό αφού ότι έμεινε από την
μεταβατική φάση πεθαίνει. Υπάρχει τρόπος να το κάνουμε πιο τυπικό αυτό, το οποίο το έβαλα στο
βοηθητικό βίντεο εάν ενδιαφέρεστε.
Τα ελκυστικά καθορισμένα σημεία είναι ένα είδος ελκυστών.
Υπάρχουν άλλα τρία είδη. Θα μιλήσουμε για κάποια από αυτά στα επόμενα κομμάτια και για όλα
αυτά τις επόμενες δύο εβδομάδες. Τώρα πίσω στα καθορισμένα σημεία.
Θυμάστε αυτήν την επίδειξη; Χρησιμοποιώντας την εφαρμογή του χάρτη logistic, που έδειξε πολλές
διαφορετικές αρχικές συνθήκες να συγκλίνουν στο ίδιο σταθερό σημείο.
Έτσι αν χρησιμοποιήσουμε την αρχική συνθήκη 0.1, και την παραμετρική τιμή 2.2, φθάνουμε σε αυτό
το καθορισμένο σημείο. Ας δοκιμάσουμε κάτι διαφορετικό.
Διαφορετική μεταβατική περιοχή, ίδιο καθορισμένο σημείο.
Διαφορετική μεταβατική περιοχή, συνεχίζει να φθάνει στο ίδιο καθορισμένο σημείο.
Ο τρόπος που σκεφτόμαστε για αυτήν την συμπεριφορά, πολλές αρχικές συνθήκες να καταλήγουν στον ίδιο
ελκυστή, είναι ορίζοντας κάτι που ονομάζεται βάση του ελκυστή.
Εάν είστε από τις Η.Π.Α., υπάρχει μια εύκολη αναλογία για εσάς να το καταλάβετε.
Στην μέση των Η.Π.Α., υπάρχει κάτι που λέγεται χώρισμα ηπείρου.
Διατρέχει περίπου δέκα μίλια δυτικά από εκεί που κάθομαι ακριβώς τώρα, και μια βροχή που πέφτει
στα δυτικά του χωρίσματος θα καταλήξει στον Ειρηνικό Ωκεανό.
Μια βροχή που θα πέσει στα ανατολικά του χωρίσματος θα καταλήξει στον Ατλαντικό
Ωκεανό, ή ίσως στον Μισσισσιππή.
Η αναλογία εδώ είναι ότι ο Ατλαντικός Ωκεανός είναι ο ελκυστής και η περιοχή στα ανατολικά
του χωρίσματος είναι η βάση της έλκυσης αυτού του ελκυστή.
Ο Ειρηνικός Ωκεανός είναι ένας άλλος ελκυστής, και η περιοχή προς τα δυτικά του
χωρίσματος είναι η βάση της έλκυσης αυτού του ελκυστή, και το όριο της βάσης
της έλκυσης διαχωρίζει τις δύο βάσεις.
Τι νομίζεται ότι θα συμβεί εάν μια βροχή πέσει ακριβώς στο όριο της βάσης;
Τώρα ας πάμε πίσω να εξερευνήσουμε τι συμβαίνει εάν αλλάξουμε την παράμετρο R ενώ κρατάμε
το x_0 σταθερό, χρησιμοποιώντας την ίδια αρχική συνθήκη. Υπάρχει R=2.3, R=2.4, R=2.5,
όπως ανέφερα προηγουμένως, το καθορισμένο σημείο κινείται. Αυτό είναι σαν ο πληθυσμός
των λαγών σταθεροποιείται σε έναν υψηλότερο αριθμό εάν οι αλεπούδες είναι λιγότερο πεινασμένες ή ο ρυθμός
γέννησης των λαγών είναι υψηλότερος.
Τώρα εάν κοιτάξετε καλύτερα, θα δείτε ότι το μήκος της μεταβατικής περιοχής διέφερε σε αυτό το πείραμα
Το έκανα. R=2.2, ο πληθυσμός σταθεροποιείται γρήγορα Πήρε λίγο πιο πολύ για R = 2.3.
Η αναλογία εδώ είναι ότι ο πληθυσμός παίρνει λίγο περισσότερο να συγκλίνει στο
καθορισμένο λόγο αλεπούδων και λαγών. Θα έχετε προσέξει, αυτό το σημείο
ακριβώς εδώ, το οποίο γίνεται πιο σαφές εάν αυξήσουμε την R περισσότερο.
Υπάρχει R=2.6, R=2.7, αυτό που συμβαίνει εδώ είναι ότι αυτή η τροχιά ακόμα συγκλίνει σε ένα καθορισμένο
σημείο, αλλά αντί να συγκλίνει σε μια πλευρά, συγκλίνει με έναν τρόπο σαν να ταλαντώνεται.
Είναι όπως όταν ξεσκεπάζεις την κουκούλα του αυτοκινήτου σου, και το αυτοκίνητο
ταλαντώνεται πάνω και κάτω πριν σταματήσει.