لقد رأيت في القسم الماضي، تعاقب تكرارات التطبيق اللوجيستي متقاربة
إلى خط مقارب. في هذا القسم، سأكون أكثر حَذراً قليلاً بشأن التعريفات
والمصطلحات حول كل ذلك. وسأريكم ماذا يحدث لقيم
مختلفة من الشروط الإبتدائية x_0 والوسيط R.
أولاً، مفهوم تعاقب التكرارات، x_0، x_1 وهكذا.
يدعى ذلك مدار أو مسار النظام الديناميكي.
المدار أو المسار هو تسلسل من قيم متغيرات رسمية من النظام.
لدى التطبيق اللوجيستي متغير رسمي واحد، x. قد يكون لدى الأنظمة الأخرى أكثر من متغير رسمي واحد.
على سبيل المثال، النواس، الذي رأيتموه في القسم الأول. تحتاج أن تعرف
موضع وسرعة كِلا تمايلات النواس لكي تقول بأي حالة هو.
سأعود لذلك في الوحدة الثالثة من هذه الدورة.
قيمة البدء للمتغير الرسمي في التطبيق اللوجيستي، x_0، تدعى الشرط الإبتدائي.
مسار التطبيق اللوجيستي من الشرط الإبتدائي، x=0.2 مع R=2، تصل إلى
ما يدعى بنقطة ثابتة. ذلك الخط المقارب بعد المرور بما يدعى بعابر.
لقد رسمت لكم تلك الصورة المرة الماضية. ها هي تلك الصورة مجدداً.
تقنياً، نقطة ثابتة هي حالة النظام الذي لا يتحرك تحت تأثير
الديناميكيا. تلك هي النقطة الثابتة التي يتقارب إليها مسار التطبيق اللوجيستي،
والتي تدعى بنقطة ثابتة جاذبة.
هناك أنواع أخرى من النقاط الثابتة كما سأريكم بالنواس.
إذاً، هذه بالتأكيد نقطة ثابتة للديناميكيا. النظام هناك
ولا تتسبب الديناميكيا بتحريكه. وإنّها نقطة ثابتة جاذبة، لأنّني إذا شوشته
قليلاً، سيتقلّص ذلك التشويش، معيداً الجهاز إلى النقطة الثابتة.
الآن، تلك نقطة ثابتة جاذبة. كما قلت، هناك أنواع أخرى من النقاط الثابتة.
هذه واحدة منهم. أو هناك واحدة هنا. لم أستطع أن اجعل نواسي يحط عليها أبداً.
هناك نقطةٌ ما هنا حيث يتوازن النواس عليها.
إذاً، تلك نقطة ثابتة بمعنى أنّ النظام لن يتحرك من هناك،
لكنها نقطة ثابتة غير مستقرة.
هناك نقطتان ثابتتان غير مستقرتان أخرتان في النظام. هذه وهذه.
مجدداً، كل هؤلاء النقاط هم حالات النظام الذي ديناميكيته ثابتة.
هذا التعريف الذي أعطيتكم إيّاه للتو يلتقط كِلا نوعي النقاط الثابتة.
الحالات التي لا تتحرك تحت تأثير الديناميكيا، لكن لا تخبركم ما إذا كانوا
كانوا مستقرين جاذبين، أو غير مستقرين صادّين،
مثل النقطة العكسية للنواس.
لدى الأنظمة الديناميكية العديد من الأنواع المختلفة من السلوكيات المقاربة.
فروع من مجموعة الحالات المحتملة حيث تتقارب الأشياء كذهاب الزمن إلى ما لا نهاية.
يدعى هؤلاء بالجواذب.
بالمناسبة، لدى الجواذب تحديد دائري نوعاً ما، عندما يتوقف
ما بقي من العابر. هناك طريقة لتشكيل ذلك، والتي استطيع أن أضعها في الفيديو الملحق،
إن كانت الناس مهتمة بالموضوع.
النقاط الثابتة الجاذبة هي نوعٌ واحد من الجواذب.
هناك ثلاث أنواع أخرى. سنتحدث عن بعضاً من هؤلاء في القسم التالي، وكلهم
خلال الدورة في الأسبوعين القادمين. الآن، بالعودة إلى النقاط الثابتة.
هل تتذكر هذه البرهنة؟ باستخدام تطبيق الاقتران اللوجيستي، والذي أظهر أنّ الكثير
من الشروط الإبتدائية المختلفة تذهب إلى نفس النقطة الثابتة.
إذاً، إذا استخدمنا الشرط الإبتدائي 0.1، وقيمة الوسيط 2.2، نذهب إلى
النقطة الثابتة هذه. دعونا نجرّب شيئاً مختلفاً.
عابر مختلف، نفس النقطة الثابتة.
لا يزال العابر المختلف يذهب إلى نفس النقطة الثابتة.
الطريقة التي نفكر بها بشأن ذلك السلوك، مجموعة كاملة من الشروط الإبتدائية تذهب إلى نفس
الجاذب، هي من خلال تحديد شيءٍ ما يدعى حوض التجاذب.
إن كنت من الولايات المتحدة، هناك مماثلة سهلة لك لتفهم هذا.
يوجد في وسط الولابات المتحدة شيئاً ما يدعى بالقسم القاري.
إنّها تقع غرب المكان الذي أجلس فيه الآن بحوالي عشرة أميال، وقطرة المطر التي تسقط
على غرب القسم القاري ستنزلق للمحيط الهادي,
قطرة المطر التي تسقط على شرق القسم القاري ستنزلق إلى المحيط
الأطلسي، أو ربما إلى أدنى المسيسبي. وخارج ذلك الطريق.
المماثلة هنا هي أنّ المحيط الأطلسي مثل جاذب، والتضاريس نحو شرق
القسم القاري هي حوض التجاذب لذلك الجاذب.
المحيط الهادئ هو جاذب آخر، والتضاريس نحو غرب القسم
القاري هي حوض التجاذب لذلك الجاذب، وحدود حوض
الجذب ذلك تقسم هذين الحوضين.
ماذا تظن سيحدث على قطرة المطر التي تسقط على حدود الحوض بالضبط تماماً؟
الآن، دعونا نعود ونستكشف ماذا يحدث إذا غيّرنا الوسيط R بينما نبقي
x_0 ثابتة، هو أنّ باستخدام نفس الشرط الإبتدائي. هناك R=2.3، R=2.4، R=2.5 ،
كما ذكرت في القسم الماضي، النقطة الثابتة تتحرك. ذلك مثل استقرار الكثافة
السكانية للأرانب عند عدد أعلى إن كانت الثعالب أقل جوعاً أو معدل
ولادة الأرانب أعلى.
الآن، إذا نظرت عن كثب، سترى أنّ الأطوال العابرة مختلفة في تلك التجربة
التي قمت بها للتو. R=2.2، تستقر الكثافة السكانية بسرعة جداً. تأخذ وقتاً أطول بقليل عند R=2.3.
المماثلة هناك هي أنّ الكثافة السكانية تأخذ وقتاً أطول بقليل لتتقارب إلى
نسبة نقطتها الثابتة من الثعالب والأرانب. قد تكون قد لاحظت أيضاً، هذا التجاوز الصغير
هنا، والذي يصبح واضحاً أكثر أذا رفعنا R أكثر.
هناك R=2.6، r=2.7، ما يجري هنا هو أنّ المدار لا زال متقارب إلى نقطة
ثابتة، لكن بدلاً من تقاربه بنمط من جانب واحد، إنّه يتقارب بنمط
تذبذبي. إنّه كما لو أنّك تضغط على غطاء سيارتك، وترتد السيارة
للأعلى والأسفل لبرهة، قبل أن تستقر.