Nós vamos explorar o campo da dinâmica não linear pelo estudo dos mapas
sistemas que operam em tempo discreto. Então, nós avançaremos para o estudo
do fluxo em sistemas contínuos no tempo .
Esta distinção pode não ser algo que você tenha visto antes.
Um fluxo é algo como um pêndulo, uma dinâmica contínua do espaço.
Imagine, pense, se você jogar uma luz no pendulo. A cada dez dez segundos,
essa luz iluminara onde o pendulo estiver.
Isso é um mapa. Tempo só existe nestes sistemas em intervalos discretos de tempo.
Em outras palavras, não faz sentido perguntar qual o estado do sistema
entre amostras. Indicadores econômicos mensais são como filmes antigos
que filmamos a 24 frames por segundo. Não há foto do estado do sistema
entre esses frames.
Aqui está um slide que sumariza isso. A razão para estudar mapas é,
primeiro, sua dinâmica é representativa. Um bom exemplo do que pode ser sistemas
dinâmicos não lineares, mas a matemática é muito mais fácil.
A maioria dos cursos de dinâmica não linear toma esse caminho por isso:
introduzir ideias e exemplos no contexto dos mapas circulando essas ideias
no contexto do fluxo. O mapa do slide
anterior é um operador matemático que avança de estado "um click".
Ou seja, toma o estado corrente do sistema e diz o que será o próximo estado.
Matematicamente, descrevemos isso utilizando equações diferenciais.
Aqui, n é o tempo, x é o estado, f é o mapa no estado corrente x_n,
e move-se no tempo de um click, gerando x_n+1.
Equações diferenciais são diferentes das equações diferenciais da unidade 3.
Aqui, um exemplo de equação diferencial. Por razões óbvias, ela é chamada de
mapa cosseno, e o modo que você a implementará seria com a tecla cosseno
da calculadora. Para um código de loop simples, tome o cosseno repetidamente.
Se, por exemplo, você digitar 48º na sua calculadora ou radiano correspondente
e clicar três vezes no botão "cosseno", o que você veria se você estivesse
utilizando a minha calculadora é este valor do display. E, se você clicar
novamente, uma quarta, quinta e sexta vez o valor não mudará.
Agora imagine desenhar essas progressões neste mapa como uma função de n (tempo).
Isto é o que você irá ver. As setas vermelhas na base são a ação
do mapa do cosseno anterior. Agora, sua conta pode variar.
Você tem 0.9936957. Isso depende de como sua calculadora ou computador implementa
o cosseno. Retornaremos a isso depois. Uma noção importante é que as interações
do mapa convergem para um valor fixo e não mudam.
Isso é chamado de ponto fixo do mapa. Aqui está outra equação diferencial, é chamada
Mapa Logístico. Muitos podem já ter visto, especialmente, no curso da Melanie de
complexidade. Aqui, novamente, x é o estado do sistema, n é o tempo e o mapa
é um parâmetro chamado R, e o mapa fará coisas diferentes para diferentes
valores de R. Este mapa é um modelo populacional bastante simples.
Novamente, isso é apresentado em detalhe no curso da Melanie
Você pode pensar em x como a razão de raposas e coelhos em um jardim,
e R é algo como a razão do número de coelhos uma raposa come por ano e
o número de bebes que um coelho tem por ano.
Esta não é uma correspondência direta. Novamente, o curso da Melanie vai mais
a fundo neste modelo. Para os propósitos deste curso, isto é mais um exemplo para
exercitar. Agora, nesta equação, x vai de 0 a 1. Estas são afirmações matemáticas
que correspondem as palavras, tal como falei.
N, novamente é tempo, é discreto, integral e R pode ir de 0 a 4, antes do mapa
"explodir". O mapa logístico tem uma variável de estado, construída
matematicamente, o mapa logístico mapeia o intervalo por si só, como aqui.
Voltarei ao que eu quero dizer por mapear um intervalo por si só mais tarde.
Neste meio tempo, vamos inserir alguns x's e ver o que acontece.
Vamos dizer que o primeiro x é 0,2 e vamos tentar um R = 2.
Vejamos o que acontece. Agora, o x_1 é adicionado e o que temos quando eu faço
isso é 0,32. Para ver o x_2, eu adiciono x_1 de volta ao mapa logístico, assim.
E eu posso continuar fazendo isso e algo interessante acontece. Enquanto nós
iteramos este mapa, as repetições de x_n aproximam um ponto fixo. Vamos desenhar
este comportamento como com o cosseno.
Novamente, você vê que o comportamento convergiu para o ponto fixo 0,5, depois
passou pelo o que é chamado de fase transitória.
Aqui tem um app que você pode explorar. No topo esquerdo, você pode ver um link.
Este link também está no quiz que segue este vídeo, então não se preocupe em
anotar. Agora, este app tem várias funcionalidades que serão utilizadas
na próxima unidade. Nesta semana, preste atenção neste gráfico da direita.
Esta caixa, esta e esta, e este botão. Isto fala para você quantos pontos
você quer replicar no mapa. Isto fala onde você você começa, e este o valor de R.
Digamos que você começa de 0,2 antes e utilizamos um R de 2, e tenho cinco
repetições, Então, eu vou reiniciar esta simulação e vou ter uma bela versão
computacional do gráfico que eu fiz à mão. Vamos
tentar inserir mais pontos para ver se o ponto fixo se mantém.
Parece que sim. Vamos tentar diferentes condições iniciais e ver se o produz o
mesmo ponto fixo
Parece que sim. Vamos tentar mudar o R um pouco.
Agora nosso ponto fixo mudou.
Primeiro, veja isso, pontos fixos em 0,5.
Os pontos fixos sobem um pouco. Então, movem-se sob a influência do parâmetro
R. e você podem imaginar isto como uma população que estabiliza a partir de uma
taxa de raposas e coelhos no meu jardim, conforme mudamos a taxa de natalidade dos
coelhos e a fome das raposas. Faz sentido o ponto fixo suba ou baixe com a mudança
destes parâmetros.
Na próxima vez exploraremos mais estes R e x's, e ver o que acontece.