Inizieremo la nostra esplorazione nel campo delle dinamiche non lineari studiando
le "mappe", sistemi che operano nel tempo discreto. Poi passeremo allo studio dei
"flussi", sistemi continui nel tempo.
Potreste non aver sentito mai, prime d'ora, questa distinzione.
Un flusso è qualcosa come il mio pendolo, sono dinamiche che operano in modo continuo nel tempo e nello spazio.
Immaginate, però, di illuminare con una lampada stroboscopica il pendolo. Ogni dieci secondi,
questa lampada illumina la zona in cui è presente il pendolo.
Questa è una "mappa". Il tempo esiste, in questo sistema dinamico, solo in intervalli discreti.
In altre parole, non ha senso chiedere quale sia lo stato del sistema tra
i campioni. Indicatori economici mensili, sono come questi, poiché sono come vecchi film
che sono girati a 24 frame per secondo. Non ci sono immagini
dello stato del sistema intermedi a questi frame.
Ecco una slide che riassume questa distinzione. La ragione di studiare prima le mappe, a proposito,
è che le loro dinamiche sono importanti. Un buon esempio di cosa può succedere in sistemi
dinamici non lineari, ma la matematica è molto semplice.
Molti corsi sulle dinamiche non lineari fa questo percorso per questo motivo: introducendo le idee
e gli esempi nel contesto delle mappe e poi riportando queste idee
nel contesto dei flussi.
La mappa nella slide precedente è un operatore matematico che avanza di stato una volta ad ogni click.
Cioè prende lo stato corrente del sistema e dice quale sarà lo stato successivo.
Matematicamente, descriviamo questo utilizzando quella che viene chiamata equazione alle differenze.
Qui, n è il tempo, x è lo stato del sistema, f è la funzione che mappa lo stato corrente x_n,
e va avanti di una unità di tempo, fornendoci x_(n+1).
Le equazioni alle differenze sono molto diverse dalle equazioni differenziali che
vedremo nella unità 3 di questo corso.
Ecco un esempio di equazione alle differenze. Questa, per ovvie ragioni, è chiamata
la mappa del coseno, e il modo in cui la potreste implementare è con la funzione coseno
del calcolatore. Per un semplice ciclo, calcola il coseno ripetutamente.
Se, per esempio, mettete 48° come ingresso o il numero corrispondente
in radianti, e poi fate il coseno tre volte, vedreste,
se usate il mio calcolatore, questo valore nello schermo. Poi
fate il coseno una quarta volta, una quinta, una sesta e il valore non cambia.
Ora immaginiamo di disegnare la progressione delle iterazioni di questa mappa come una funzione
di n (il tempo). Ecco cosa vedreste. La freccie rossw in basso sono l'azione
della mappa coseno sul punto precedente. La distanza potrebbe variare. Potreste
avere 0.9936957. Dipende da come il vostro calcolatore o il vostro computer implementa la funzione coseno.
Ritorneremo su questo. Un concetto molto importante è che le iterazioni
della mappa convergono a un valore fisso, poi non cambiano.
Questo viene chiamato punto fisso della mappa. Questa è un'altra equazione alle differenze,
chiamata mappa logistica. Molti di voi l'avranno vista in particolare se avete fatto il corso di Melanie
sulla complessità. Di nuovo, qui, x è lo stato del sistema, n è il tempo, e la mappa ha un parametro
che si chiama R, e la mappa fa cose molto diverse per valori differenti di R, con cui lavoreremo
i prossimi due segmenti di lezione. Questa mappa, comunque, è un modello
di popolazione molto semplice. Di nuovo, se ne parla più in dettaglio nel corso di Melanie.
Potete pensare a x come qualcosa come il rapporto tra volpi e conigli nel mio campo,
e R è simile al rapporti tra il numero di conigli che una volpe mangia in un anno e
il numero di figli che una volpe ha in un anno.
Non è una corrispondenza diretta. Di nuovo, potete vedere il corso di Melanie per una trattazione
migliore di questo modello. Per lo scopo di questo corso, questo è più un esempio
con cui lavorare. In questa equazione, x va da 0 a 1. Questi sono tutti stati matematici equivalenti
ad esempio di ciò che o detto.
n, di nuovo, è il tempo, è discreto, assume valori interi, e R va da 0 a
4 prima che la mappa diventi instabile. La mappa logistica ha una variabile di stato, quindi, in modo
matematico, la mappa logistica mappa l'unità di tempo in se stessa, come questa.
Torneremo a ciò che vorrei dire sulla mappatura di un intervallo in se stesso fra un po'.
Intanto, inseriamo qualche x e vediamo cosa succede.
Diciamo che il primo è 0.2, e proviamo R = 2.
Vediamo cosa succede. Metto x_1 e trovo che è
0.32. Metto x_2, mettendo indietro x_1 nella mappa logistica, così.
E continuo a fare questo e accade qualcosa di interessante. Continuando,
l'iterazione x_n diventa, di nuovo, un punto fisso. Facciamo il grafico si questo comportamento come
abbiamo fatto prima per il coseno.
Di nuovo, potete vedere che converge a un punto fisso che è 0.5, dopo
una fase che viene chiamata "di transizione".
Ecco un'app che potete utilizzare per analizzare ciò. Potete vedere il lin all'angolo in alto a sinistra della pagina.
Questo link è anche nel quiz che segue questo video, quindi non preoccupatevi di scriverlo.
Questa app ha molte funzionalità che utilizzeremo in questa e nella prossima unità.
Questa settimana, dovete fare attenzione al grafico a destra, questo.
Questa box, questa box e questa,e questo pulsante. Questa indica quanti punti volete
iterare nella mappa. Questa indica dove volete iniziare, e questa indica il valore di R.
Diciamo, che prima avevamo iniziato da 0.2 u sato R = 2,
e penso che abbiamo fatto 5 iterazioni, quindi ricomincio questa simulazione e ritorno con
una versione a computer del grafico che avevo fatto (male) a mano.
Facciamo il grafico con un po' di punti in più e vediamo se rimane il punto fisso.
Sembra di sì. Proviamo differenti condizioni iniziali e vediamo se
vanno allo stesso punto fisso.
Sembra di sì. Proviamo a cambiare R leggermente e vedere cosa succede.
Oops, sembra che il punto fisso non sia allo stesso punto.
Prima il punto fisso era a 0.5,
adesso è un po' più in alto. Il punto fisso è influenzato
dal parametro R. E lo potete pensare come una popolazione che si stabilizza ad una certa
proporzione di volpi e conigli nel mio parco, come se modifichiamo il tasso di natalità dei conigli,
e la fame delle volpi. Ha senso il fatto che il punto fisso aumenta e dimunisce
di valore modificando questi parametri.
La prossima volta esploreremo un po' più in dettaglio R e x e vedremo cosa succede.