Vamos a empezar nuestra exploración del campo de la dinámica no lineal
estudiando mapas: sistemas que operan en tiempo discreto.
Luego estudiaremos flujos: sistemas donde el tiempo es continuo.
Tal vez no hayas encontrado antes esta distinción.
Un flujo es algo como mi péndulo.
La dinámica trata al tiempo y al espacio como cantidades continuas.
Imagina ahora que una luz estroboscópica ilumina el péndulo, cada décima de segundo
esta luz muestra dónde el péndulo estaba.
Esto es un mapa.
El tiempo sólo existe en ese sistema dinámico
en intervalos de tiempo discretos.
En otras palabras, no tiene sentido preguntarse cuál es el estado del sistema
para tiempos entre las muestras. Los indicadores económicos son así
como las viejas películas filmadas a 24 fotogramas por segundo.
No hay estado del sistema entre estos fotogramas.
Acá una diapositiva que resume esa distinción. La razón para estudiar
los mapas primero es que su dinámica es representativa de lo que ocurre en los
sistemas dinámicos nolineales, pero la matemática es mucho más sencilla.
La mayoría de los cursos en dinámica nolineal toman este camino por esa razón:
introducir las ideas y ejemplos en el contexto de mapas y luego darle la vuelta
para ver las ideas en el contexto de flujos.
El mapa de la diapositiva anterior es un operador matemático
que avanza el estado del sistema un solo paso.
Esto es, toma el estado actual del sistema y te dice cuál será el próximo estado.
Describimos esto matemáticamente usando una ecuación en diferencias.
Aquí n es el tiempo, x es el estado del sistema, f es el mapa
que toma el estado actual x_n y lo mueve un paso hacia delante dando x_(n+1)
Las ecuaciones en diferencias son distintas a las ecuaciones diferenciales
que estudiaremos en la unidad 3 de este curso.
Acá hay un ejemplo de una ecuación en diferencias. Esto, por razones obvias,
se llama el mapa coseno y la forma de implementarse es
con la tecla coseno de la calculadora. Un programa simple hace un bucle
donde se calcula el coseno repetidamente. Si, por ejemplo, introduces 48°
en tu calculadora (o el número correspondiente en radianes) y presionas
la tecla coseno 3 veces. Lo que verías en la pantalla,
si estuvieras usando mi calculadora, sería este número.
Si presiono la tecla una cuarta, quinta y sexta vez, el valor no cambiaría.
Ahora imagina que graficamos la progresión de números de estas iteraciones producidas
por este mapa en función de n (tiempo). Las flechas rojas del gráfico de abajo
son la acción del mapa sobre el punto previo.
Ahora, tu registro puede variar. Puedes obtener 0.9936957. Dependerá de cómo
tu computadora implementa el operador coseno. Volveremos a eso.
Una idea importante acá es que las iteraciones del mapa
convergen a un valor fijo que no cambia posteriormente.
Este se llama punto fijo del mapa. Aquí hay otra ecuación en diferencias
Se llama el mapa logístico. Muchos de ustedes la habrán visto, especialmente
si tomaron el curso de Melanie sobre complejidad.
Aquí x es el estado del sistema, n es el tiempo y el mapa tiene un parámetro
llamado R; para diferentes valores R, el mapa hará cosas distintas
y jugaremos con él en los próximos segmentos. Este mapa, por cierto,
es un modelo muy simple de poblaciones. Nuevamente, esto se cubre
con mayor detalle en el curso de Melanie.
Puedes pensar en x como la razón entre zorros y conejos en mi patio
y R es algo como la razón entre el número de conejos que un zorro come en un año y
el número de bebés conejos que nacen por año.
Esta correspondencia no es directa. Puedes ver el curso de Melanie
para un mejor tratamiento de este modelo. Para este curso, este modelo es sólo un
ejemplo para jugar. En esta ecuación, x va desde 0 a 1. Estas son expresiones
matemáticas equivalentes a lo que acabo de decir; n es el tiempo, es discreto,
toma valores enteros y R varía desde 0 a 4 antes de que el mapa explote.
El mapa logístico tiene una variable de estado. Así, matemáticamente el mapa
logístico mapea el intervalo (0,1) en sí mismo. Regresaremos más adelante
a lo que esto quiere decir. Mientras evaluemos algunas x y veamos qué ocurre.
Digamos que el primer x es 0.2 y digamos que probamos con R=2. Veamos qué pasa.
La manera de obtener x_1 es sustituir y evaluar; obtengo 0.32. Para obtener x_2
sustituímos x_1 en el mapa logístico, así. Puedo hacer esto muchas veces
y ver que ocurren cosas interesantes. Al hacerlo, las iteraciones x_n se acercan
a un valor fijo nuevamente. Grafiquemos este comportamiento como lo hicimos
con el mapa coseno.
Puedes ver que el mapa converge al punto fijo 0.5,
luego de recorrer una fase transitoria.
Aquí hay una aplicación que puedes usar
para explorar esto. Arriba a la izquierda puedes ver el enlace a la página web.
El enlace también está en el quiz que sigue, así que no te preocupes en apuntarlo.
Esta aplicación tiene muchas funciones que usaremos en esta unidad y la siguiente.
Esta semana, sólo presta atención es al gráfico de la derecha; aquí.
Esta caja,
esta otra caja
y esta otra y este botón.
Acá pones el número de iteraciones.
Acá pones dónde empezarás y acá pones el valor de R.
Digamos que entramos, empezamos en 0.2 antes y usamos R=2 y creo que iteramos
unas cinco veces. Voy a reiniciar la simulación y voy a obtener una linda
versión a computadora del gráfico que hice a mano. Grafiquemos algunos puntos más
para ver si hay algún punto fijo.
Parece que sí. Probemos otra condición inicial
y veamos si llegamos al mismo punto fijo.
Pareciera que sí. Probemos cambiar R un poco y ver qué pasa.
Uy, parece que el punto fijo no está en el mismo lugar.
Primero, mira acá, el punto fijo está en 0.5
y luego está un poco más arriba. Parece que los puntos fijos se mueven
bajo la influencia del parámetro R.
Puedes imaginar esto como una población que se estabiliza en cierta razón de
zorros y conejos en mi patio a medida que cambiamos la tasa de nacimiento de conejos
y cuán hambrientos están los zorros.
Parece tener sentido que el punto fijo incrementa o disminuye
a medida que cambian estos parámetros.
La próxima vez, exploraremos un poco más el parámetro R y veremos qué ocurre.