Θα ξεκινήσουμε την εξερεύνηση στο πεδίο των μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων
μελετώντας χάρτες που εφαρμόζονται σε συγκεκριμένο χρόνο. Μετά θα προχωρήσουμε στην μελέτη
ρωών - συστήματα συνεχούς χρόνου.
Αυτήν την διάκριση μπορεί να μην την έχετε συνάντηση πριν.
Ροή είναι κάτι σαν το εκκρεμές μου, δυναμική που ενεργεί συνεχώς στον χρόνο και στον χώρο.
Φανταστείτε, να λάμπει ένα φως σαν φλας στο εκκρεμές. Κάθε δέκατο του δευτερολέπτου,
το φλας θα φωτοβολεί εκεί που ήταν το εκκρεμές.
Αυτό είναι ένας χάρτης. Ο χρόνος υπάρχει σε αυτό στο δυναμικό σύστημα σε διακεκριμένα διαστήματα.
Με άλλα λόγια, δεν βγάζει νόημα να ρωτήσουμε ποια είναι η κατάσταση του συστήματος ανάμεσα
στα δείγματα. Οι μηνιαίοι οικονομικοί δείκτες είναι σαν αυτό, σαν παλιομοδίτικες
ταινίες που τρέχουν 24 πλαίσια/δευτερόλεπτο. Δεν υπήρχε εικόνα της κατάστασης
του συστήματος μεταξύ αυτών πλαισίων.
Εδώ είναι μια εικόνα που συνοψίζει αυτήν την διάκριση. Επίσης, ο λόγος που μελετάμε χάρτες πρώτα
είναι γιατί η δυναμική είναι αντιπροσωπευτική. Ένα καλό παράδειγμα του τι συμβαίνει σε μη γραμμικά
δυναμικά συστήματα, αλλά τα μαθηματικά είναι πολύ ευκολότερα.
Τα περισσότερα μη γραμμικά δυναμικά μαθήματα παίρνουν αυτόν τον δρόμο για τον λόγο: εισάγοντας
τις ιδέες και παραδείγματα στο πλαίσιο των χαρτών και ξαναγυρίζοντας σε αυτές
τις ιδέες στο πλαίσιο των ροών.
Ο χάρτης στην προηγούμενη εικόνα είναι ένας μαθηματικός τελεστής που προάγει το σύστημα σε κάθε κλικ.
Παίρνει την παρούσα κατάσταση του συστήματος και σου λέει ποια θα είναι η επόμενη.
Μαθηματικά, το περιγράφουμε χρησιμοποιώντας αυτό που λέγεται εξίσωση διαφοράς.
Εδώ, n είναι ο χρόνος, x η κατάσταση του συστήματος, f ο χάρτης που παίρνει την παρούσα κατάσταση x_n,
και την προχωράει ένα κλικ χρόνου μπροστά δίνοντάς το x_n+1.
Οι εξισώσεις διαφοράς είναι πολύ διαφορετικές από τις διαφορικές εξισώσεις στις οποίες θα
μπούμε στην Ενότητα 3 σε αυτό το μάθημα.
Εδώ είναι ένα παράδειγμα μιας εξίσωσης διαφοράς Αυτός ονομάζεται, προφανώς,
χάρτης συνημιτόνου, και ο τρόπος που το εκτελείτε είναι με το κουμπί cos στον
υπολογιστή σας. Για έναν απλό βρόγχο σε κώδικα, παίρνει το συνημίτονο συνεχώς.
Για παράδειγμα, εάν βάλετε 48 μοίρες στον υπολογιστή σας ή τις αντίστοιχες
ακτίνες, και μετά πατήσετε 3 φορές το cos αυτό που θα βλέπατε
εάν χρησιμοποιούσατε τον δικό μου υπολογιστή, είναι η ένδειξη στην οθόνη. Και μετά εάν πατούσατε
το κουμπί cos 44,6 φορές αυτή η τιμή δεν θα άλλαζε.
Τώρα ας φανταστούμε ότι σχεδιάζουμε τις προόδους των επαναλήψεων του χάρτη σαν συνάρτηση
των n (χρόνος). Θα βλέπατε αυτό. Τα κόκκινα βέλη στο κάτω μέρος τους διαγράμματος είναι η δράση
του χάρτη συνημιτόνου στο προηγούμενο σημείο. Τώρα η απόσταση ποικίλει. Μπορεί να
πάρετε 0.9936957. Εξαρτάται στο πως ο υπολογιστής σου εκτελεί τον τελεστή του συνημιτόνου.
Θα επανέλθουμε σε αυτό. Μία πολύ σημαντική ιδέα εδώ είναι ότι οι επαναλήψεις
του χάρτη συγκλίνουν σε μια σταθερή τιμή, και μετά δεν αλλάζει.
Αυτό λέγεται το σταθερό σημείο του χάρτη. Εδώ είναι μια άλλη εξίσωση διαφοράς, ονομάζεται
χάρτης logistic. Πολλοί μπορεί να το έχετε δει ειδικά εάν πήρατε το μάθημα της Μέλανι στην
πολυπλοκότητα. Ξανά x είναι η κατάσταση του συστήματος, n είναι ο χρόνος, και η παράμετρος
που ονομάζεται R, και ο χάρτης θα κάνει πολύ διαφορετικά πράγματα για διαφορετικές τιμές R,
όπως θα παίξουμε στην συνέχεια. Αυτός ο χάρτης είναι ένα πολύ απλό
μοντέλο πληθυσμού. Ξανά, αυτό καλύπτεται με λεπτομέρεια στο μάθημα της Μέλανι.
Σκεφτείτε το x κάτι σαν ο λόγος των αλεπούδων προς τους λαγούς στην αυλή,
και το R είναι κάτι σαν ο λόγος των λαγών που μια αλεπού τρώει κάθε χρόνο και
ο αριθμός των απογόνων που έχει ο λαγός κάθε χρόνο.
Αυτό δεν είναι ακριβές. Ξανά, πρέπει να δείτε το μάθημα της Μέλανι για
καλύτερη εξήγηση. Για τους σκοπούς του μαθήματος, αυτό είναι περισσότερο ένα παράδειγμα
για να παίξουμε. Τώρα σε αυτήν την εξίσωση, το x κυμαίνεται από 0-1. Αυτές είναι ισοδύναμες
μαθηματικές προτάσεις με αυτά που είπα.
N, ξανά, είναι ο χρόνος, είναι διακεκριμένος, ακέραιος αριθμός, και το R κυμαίνεται από 0-4
πριν ο χάρτης ανατιναχτεί!. Ο χάρτης logistic έχει μία καταστατική μεταβλητή, έτσι, στο
πλαίσιο των μαθηματικών, ο χάρτης ορίζεται στο μοναδιαίο διάστημα στον ευατό του, ως εξής.
Θα επανέλθουμε στο τι σημαίνει η χαρτογράφηση διαστήματος στον ευατό του αργότερα.
Εν τω μεταξύ, ας εφαρμόσουμε μερικά x να δούμε τι γίνεται.
Ας πούμε ότι το πρώτο x είναι 0.2, και ας πούμε ότι δοκιμάζουμε το R=2.
Ας δούμε τι γίνεται. Πως παίρνω το x_1 γίνεται εφαρμόζοντας το (το x), και τι παίρνω
όταν το κάνω ,παίρνω 0.32. Για να πάρω το x_2 ,εφαρμόζω το x_1 πάλι στην εξίσωση logistic, έτσι.
Και συνεχίζω να το κάνω και κάτι ενδιαφέρον συμβαίνει. Όπως επαναλαμβάνουμε τον χάρτη,
οι επαναλήψεις του x_n προσεγγίζουν, ξανά, ένα σταθερό σημείο. Ας σχεδιάσουμε την συμπεριφορά
όπως κάναμε με τον χάρτη του συνημιτόνου.
Ξανά, μπορείτε να δείτε ότι η συμπεριφορά συγκλίνει σε ένα σταθερό σημείο στο 0.5,
περνώντας από αυτό που λέγεται μεταβατική φάση.
Εδώ είναι μια εφαρμογή με την οποία μπορείτε να το εξερευνήσετε. Πάνω αριστερά, βλέπετε τον σύνδεσμο της σελίδας.
Αυτός ο σύνδεσμος είναι και στο quiz που θα ακολουθήσει, μην ανησυχείτε αν δεν τον γράψετε.
Τώρα, αυτή η εφαρμογή είναι πολύ λειτουργική και θα την χρησιμοποιήσουμε στην παρούσα και στην επόμενη ενότητα.
Αυτήν την εβδομάδα, χρειάζεται να προσέξετε στο δεξί διάγραμμα, εδώ ακριβώς.
Αυτό το κουτί, αυτό, και αυτό, και αυτό το κουμπί. Αυτό σας λέει πόσα σημεία θέλετε να
επαναλάβετε στον χάρτη. Αυτό σας λέει που θέλετε να ξεκινήσετε, και αυτό ποια τιμή της R θέλετε.
Πέστε, ότι εισάγετε, ας δούμε, νομίζω ξεκινήσαμε από το 0.2 πριν και βάλαμε R = 2.
Και νομίζω κάναμε 5 επαναλήψεις, έτσι πρόκειται να ξαναρχίσω την προσομοίωση
και θα πάρω μια υπολογιστική εκδοχή του διαγράμματος που έκανα άσχημα με το χέρι.
Ας σχεδιάσουμε μερικά ακόμη σημεία για να δούμε εάν το σταθερό σημείο υπάρχει ακόμη.
Φαίνεται ότι υπάρχει. Ας δοκιμάσουμε διαφορετική αρχική συνθήκη και να δούμε εάν
καταλήγει το στο ίδιο σταθερό σημείο.
Φαίνεται ότι καταλήγει. Ας αλλάξουμε την R ακόμη λίγο για να δούμε τι γίνεται.
Ωπ, φαίνεται ότι το σταθερό σημείο δεν είναι στο ίδιο μέρος.
Πρώτα απ'όλα, κοιτάξτε, είναι το σταθερό σημείο είναι στο 0.5.
είναι λίγο πιο ψηλά. Έτσι το σταθερό σημείο κινείται κάτω από την επιρροή της
παραμέτρου R. Και μπορείτε να φανταστείτε ότι ο πληθυσμός σταθεροποιείται σε έναν ακριβή
λόγο αλεπούδων ανά λαγών στην αυλή μου, όπως αλλάζουμε τον ρυθμό γέννησης των λαγών,
και την πείνα των αλεπούδων. είναι λογικό ότι το σταθερό σημείο θα αυξάνεται και θα μειώνεται
όσο αλλάζουμε τις παραμέτρους.
Την επόμενη φορά θα εξερευνήσουμε λίγο παραπάνω το R για να δούμε τι γίνεται εκεί.