سوف نبدأ استكشافنا لمجال الديناميكيا غير الخطية من خلال دراسة
أنظمة التطبيقات التي تشتغل بزمن منفصل. ومن ثمّ سننتقل لدراسة
أنظمة تدفقات الزمن المستمر.
قد لا يكون هذا التمييز شيئاً قد صادفته من قبل.
التدفق هو شيءٌ ما مثل نواس، ديناميكيا تعمل بشكلٍ مستمر في الزمن والفراغ.
تخيل كما لو أنّك صوّبت ضوء مبهر على النواس. كل عُشر من الثانية،
سوف ينير الضوء المبهر ذلك، المكان الذي كان فيه النواس.
ذلك تطبيق. يتواجد الوقت فقط في النظام الديناميكي ذلك في فترات منفصلة.
بعبارةٍ أخرى، فإنّه من غير المنطقي سؤال ماهي حالة النظام
ما بين العينات. المؤشرات الاقتصادية الشهرية هي مثل الأفلام
قديمة الطراز، حيث تمّ تصويرها في 24 لقطة في الثانية. لم يكن هناك صورة لحالة
النظام ما بين هذه اللقطات.
ها هنا شريحة تلخص ذلك التمييز. السبب وراء دراسة التطبيقات أولاً،
بالمناسبة الديناميكيا خاصتهم ممثّلة. مثال جيد لما يمكن أن يحدث قي الأنظمة
الديناميكية غير الخطية. لكن الرياضيات أسهل بكثير.
معظم دورات الديناميكيا غير الخطية تأخذ هذا المسار لذلك السبب: تقديم الأفكار
والأمثلة في سياق التطبيقات، ومن ثمّ سنلف ونعود عبر هؤلاء
الأفكار في سياق التدفقات.
التطبيق في الشريحة السابقة هو عامل رياضي والذي يحسّن الحالة بنقرة واحدة.
هذا هو، إنّه يأخذ الحالة الحالية للنظام ويخبرك ماذا ستكون الحالة التالية.
رياضياً، نصف هذا باستخدام بما يدعى معادلة الفرق.
هنا، n هي الزمن، x هي حالة النظام، f هي التطبيق الذي يأخذ الحالة الحالية x_n،
وينقلها إلى الأمام بنقرة واحدة، عاطيةً إيّاك x_n+1.
معادلات الفرق مختلفة جداً عن المعادلات التفاضلية والتي سنتطرأ لها
في الوحدة 3 في هذه الدورة.
ها هنا مثال غن معادلة فرق. تدعى هذه لأسبابٍ واضحة
بتطبيق cos، والطريقة التي ستنفذها هي مع مقتاح الـ cos
على الآلة الحاسبة. لحلقة ترميز بسيطة، يأخذ الـ cos مراراً وتكراراً.
على سبيل المثال، إذا أدخلت 48 درجة إلى آلتك الحاسبة أو العدد الموافق
للإشعاع، ومن ثمّ تضغط على مفتاح الـ cos ثلاث مرات، ماذا سترى
إذا كنت تستخدم آلتي الحاسبة،هل هذه القيمة في العرض. ومن ثمّ اضغط
مفتاح الـ cos، مرة رابعة، خامسة، وسادسة، تلك القيمة لن تتغير.
الآن، دعونا نتخيل رسم بياني لتعاقب التكرارات لهذا التطبيق كدالة
لـ n (الزمن). هذا ما ستراه. الأسهم الحمراء في قاعدة الرسم البياني هم تأثير
تطبيق الـ cos على النقطة السابقة. الآن، قد تختلف مسافتك.
قد تحصل على 0.9936957. إنّه يعتمد على كيففية تنفيذ آلتك الحاسبة أوحاسبوك عامل الـ cos.
سنعود لذلك أيضاً. فكرة مهمة جداً هنا، هي أنّ تكرارات
التطبيق تتقارب إلى قيمة ثابتة، و ثم لا تتغير.
تدعى تلك نقطة ثابتة للتطبيق. ها هنا معادلة فرق أخرى، إنّها تدعى
التطبيق اللوجيستي. قد يكون الكثير منكم قد رأوا هذا، خاصةً إذا أخذتم دورة Melanie
في التعقيد. هنا x مجدداً هي حالة النظام، n هي الزمن، ولدى التطبيق وسيط
يدعى R، وسيقوم التطبيق بأشياء مختلفة جداً لقيم مختلفة لـ R،
كما سنعمل بها، خلال عدة القطع التالية. بالمناسبة، هذا التطبيق هو نموذج كثافة سكانية
بسيط جداً جداً. مجدداً، إنّ هذا مغطى بتفاصيل أكثر بكثير في دورة Melanie.
يمكنك أن تفكر بـ x كشيءٍ ما كنسبة الثعالب للأرانب في حديقتي الخلفية،
و R هي شيءٌ ما كنسبة عدد الأرانب التي يأكلها ثعلب بالسنة
وعدد الأرانب الرضع التي تنجبها الأرانب بالسنة.
هذا ليس تطابقاً مباشراً. مجدداً، يمكنك أن ترى دورة Melanie لمعالجة أفضل
بكثير لذلك النموذج. بالنسبة لغايات هذه الدورة، معظم هذا فقط مثال
لنعمل به. الآن، في هذه المعادلة، تشتغل x من 0 إلى 1. هذه كل البيانات الرياضية
المتساوية التي تذهب مع الكلام الذي قلته للتو.
مجدداً، n هي الزمن، إنّه منفصل، ويقدّر بعدد صحيح، و يمكن أن تتراوح R من 0
إلى 4 قبل أن ينفجر التطبيق. لدى التطبيق اللوجيستي متغيّر رسمي واحد، إذاً،
شكّل رياضياً، لقد طبّق التطبيق اللوجيستي فاصل الوحدة لنفسه، هكذا.
سنعود لما أعنيه تطبيق فاصل لنفسه لاحقاً بعد قليل.
في الوقتِ الحالي، دعونا ندخل القليل من مجموعة x ونرى ماذا يحدث.
دعونا نقول أنّ x الأولى هي 0، ودعونا نقول أنّنا سنجرّب R=2.
دعونا نرى ماذا يحدث. كيف أحصل على x_1 من خلال إدخالها، وعلى ماذا أحصل
عندما أقوم بذلك 0.32. لأحصل على x_2، أعود وأدخل x_1 إلى التطبيق اللوجيستي، هكذا.
واستطيع الاستمرار بفعل هذا، ويحدث شيئاً مثيراً للاهتمام. عندما نكرر هذا التطبيق،
تقترب تكرارات x_n، من نقطة ثابتة، مجدداً، دعونا نرسم هذا السلوك بيانياً كما فعلنا
مع تطبيق الـ cos.
يمكنك أن ترى مجدداً أنّ السلوك لديه تقارب من نقطة ثابتة عند 0.5،
بعد المرور بما يدعى بالطور العابر.
ها هنا تطبيق يمكنك أن تستخدمه لتستكشف هذا. يمكنك أن ترى رابط صفحة الإنترنت في أعلى اليسار.
يوجد هذا الرابط أيضاً في الاختبار القصير الذي يتبع هذا الفيديو، لذلك لا تقلق حول كتابته.
الآن، لدى هذا التطبيق الكثير من الوظائف التي سنستخدمها في هذه الوحدة والوحدة التالية.
ما تحتاج أن تنتبه إليه هذا الأسبوع هو رسم الناحية اليمنى البياني، هنا.
هذا الصندوق، وهذا الصندوق، وهذا الزر. يخبرك هذا كم نقطة تريد أن
يكررها التطبيق. يخبرك هذا أين تريد أن تبدأ، ويخبرك هذا أي قيمة R لتستحدمها.
فلنقل، أنّك دخلت، دعونا نرى، أعتقد أنّنا بدأنا من 0.2 قبل أن استخدامنا R لـ 2،
وأعتقد أنّني قمت بخمس تكرارات، إذاً، سأعيد بدء هذه المحاكاة وسأعود وأحصل على
نسخة حاسوب جيدة من الرسم البياني الذي قمت به بشكلٍ سيءٍ جداً باليد.
دعونا نجرب رسم بضعة نقاط إضافية بيانياً لنرى إن كانت النقطة الثابتة تلك تثبت مكانها.
يبدو أنّها تثبت مكانها. دعونا نجرب شرط إبتدائي مختلف ونرى إن كان سيذهب
لنفس النقطة الثابتة.
يبدو أنّها تذهب. دعونا نجرّب تغيير R قليلاً ونرى ماذا يحدث.
أووبس، يبدو أنّ النقطة الثابتة ليست بنفس المكان.
أولاً، انظر إلى هذا، النقطة الثابتة عند 0.5.
النقطة الثابتة أعلى قليلاً. إذاً تتحرك النقطة الثابتة تحت تأثير
الوسيط، R. ويمكنك أن تتخيل هذا ككثافة سكانية التي تستقر كنسبة
معينة من الثعالب للأرانب في حديقتي الخلفية، عندما نغير نسبة ولادة الأرانب،
وجوع الثعالب. يبدو منطقياً أنّ النقطة الثابتة تلك سترتفع وتنخفض
عندما أغير هؤلاء الوسطاء.
في المرة القادمة سنستكشف مجموعة x الـ R أكثر قليلاً، ونرى ماذا يحدث هناك.