أهلاً ومرحباً بكم في الوحدة 3 من هذه الدورة.
موضوع هذه الوحدة هو بُعد عد الصناديق.
إنّه مفهوم مختلف عن البعد،
مختلف قليلاً عن بُعد التشابه الذاتي
الذي تحدثنا عنه في الوحدة الأولى.
كما سنرى بُعد عد الصناديق
واقعي أكثر قليلاً.
إنّه من الأسهل تحديد خوارزمية لحسابه.
وإنّه قابل للتطبيق للكُسيريات غير المنتظمة.
الكُسيريات التي ليست مشابهة ذاتياً تماماً.
نوع الكُسيريات الذي
نصادفه في الطبيعة دائماً.
شيءٌ آخر حول بُعد عد الصاديق هو
أنّ هذا سينفعنا
كجسر نوعاً ما أو نقطة بداية
عندما نفكر بالقياس بشكلٍ عام أكثر
إذاً القياس في سلوك الكُسير
ليس فقط في الشيء الهندسي الملموس،
لكن في العملية التي لا تظهر في الزمان
وفي التوزيعات الإحصائية.
إذاً سيأتي ذلك لاحقاً في هذه الدورة.
وسيكون هذا انتقال نوعاً ما
إلى الخلفية الرياضية الرئيسية
التي ستساعدنا على الانتقال لذلك.
أخيراً في هذا الفيديو التمهيدي،
أريد أن أوجه إنذاراً أنّ
حساب بُعد عد الصناديق
والتعوّد عليه نوعاً ما، يشمل القليل من الملل.
أحاول عادةً أن أتجنب هذا.
لكن أحياناً القليل من الملل،
والقليل من العمل، أعتقد أنّه شيء أساسي
لفهم الفكرة الرياضية
وبُعد عد الصناديق.
إذاً سيكون عسيراً.
لكن القليل من الملل،
القليل من العمل، بعض التمارين التي سيجب عليك القيام بها.
لكن عندما تمر بهم
سيكون لديك فهم جيد جداً
لبُعد عد الصناديق.
إذاً قبل أن نبدأ
بالتعمق في بُعد عد الصناديق.
أريد أن أفكر أكثر قليلاً بشأن
لماذا نحتاج للأبعاد.
ما الخطب بالطول والمساحة فقط؟
إذاً ما الخطب بفكرة الطول والمساحة؟
لما لا نستطيع أن نطبق هذين المفهومين
بصورة مجدية لمعظم الكُسيريات؟
ها هنا طريقة للتفكير بهذا.
إذاً ها هو منحني Koch مجدداً.
ويمكننا أن نسأل ما هو طول هذا.
كم هو طول منحني Koch؟
حسناً، لقد رأينا في الوحدة الأولى
لقد قمنا بالقليل من الحساب
حيث بينما كنا نمر عبر خطوات البناء
يصبح الطول أطول وأطول.
ولذلك سأقول في معنى معين،
الطول لا نهائي أو ربما غير محدد.
إنّه فقط يزداد بالنمو.
ويبدو ذلك غريب قليلاً.
أعني قد أود أن يكون لهذا الشيء طول
لكنه مسنن جداً، متذبذب جداً
بحيث يتبيّن أن الطول لا نهائي.
إذاً ذلك رائع ومثير للإهتمام
لكن ربما ليس مساعداً جداً
إن كنت تريد أن تصف الشكل بشكلٍ محدد
قم ببعض الحسابات
بشكلٍ مشابه يمكننا أن نسأل ماذا عن المساحة.
ما هي مساحة هذا الشيء؟
حسناً، ستكون المساحة صفر.
لأنّ هذا مصنوع من خطوط
والخطوط أحادية البُعد
والخطوط
إنهم كما تعرف
بغض النظر عن الخط
إذاً لن يكون لدينا مساحة
إذاً المساحة لهذا ستكون صفر.
إذاً من ناحية ، لقد حصلنا على كُسير، نعم إنّه كُسير.
لكنه شيء هندسي مستقيم نسبياً.
هذا لديه بعض التعقيدات.
لكن يبدو كأنّنا قادرين على القيام
بشيءٍ ما رياضي بهذا.
إنّه ليس طول مطلق، أعني نعم إنّه طول مطلق
لكنه يتناسب بين يداي، لديه مساحة 0.
لكن يبدو أنّه يأخذ بعض المساحة.
لأنّه وعر.
وإذاً هذا الوضع غير مرضي أبداً.
نريد أن نكون قادرين على القيام بأكثر من مجرد قول
حسناً، إذا فكرت به كخط، إنّه مطلق.
إن فكرت به كمساحة إنّها صفر.
ولذلك الإجابة هي،
الطول يعني أنّنا نفترض أنّه أحادي البُعد.
المساحة تعني أنّنا نفترض إنّها ثنائية البُعد.
والإجابة هي، حسناً إنّها ليست أياً منهم.
إنّه بُعد من نوعٍ مختلف.
ولذلك نحتاج أن نفكر في الحصول على البُعد بشكل صحيح
لكي نكون قادرين على التحدث
عن قياس الطول أو المساحة أو شيئاً آخر.
وإذاً ذلك شيءٌ ما سيقوم به
بُعد عد الصناديق.
سيخبرنا ما هو البُعد.
وأيضاً سيدعنا نفكر بكيفية التحدث
عن القياس بمعنى معين لهؤلاء الأنواع من المجموعات
بطريقة ستكون
مرضية أكثر بكثير من هذه.
إذاً سنبدأ في الفيديو التالي
ببُعد عد الصناديق.
وسنبدأ ببطئ وكما خمنت على الأرجح
سوف نعد مجموعة من الصناديق.
إنّه ممل قليلاً.
لكنه على ما أعتقد إنّها أفضل طريقة
لتحصل على فهم جيد لهذه الأفكار الهامة.