Vamos começar a nossa
exploração de métodos

para gerar fractais, olhando mais uma vez,
para a curva de Koch.

Vamos ver que com
algumas simples modificações

ao processo de geração da curva de Koch
podemos gerar fractais

que são muito mais interessantes

e muito mais realistas, de várias formas.

Ao longo desta unidade,

Vou usar vários programas online

que podem ser acedidos através
de diferentes websites.

E os links para todos os programas

que eu referir neste vídeos,

bem como alguns outros, encontram-se

numa subunidade, no final desta, 
chamada "computer programs".

Portanto, todos os links que iremos
precisar devem estar lá.

Certo,

Vamos começar com a curva de Koch.

Aqui está então a curva de Koch.

Lembremo-nos que para a gerar, precisamos

de substituir um segmento de reta
por outro com uma saliência

em cada passo

Esta é a operação básica.

Agarramos num segmento de reta

e transformamo-lo nisto.

E repetimos este processo.

Este é, portanto, o processo básico.

O passo de geração deste fractal.

Portanto, começamos com um segmento
de reta como este, talvez.

N é igual a 0, isto estaria a preto.

E depois, no próximo passo, substituímos

este segmento de reta por
um com uma saliência.

Portanto, a curva azul
representa n igual a 1.

Agora tenho 1, 2, 3, 4 segmentos de reta

Na curva de Koch, todos devem
ter o mesmo comprimento.

Isto não é, obviamente,
um desenho perfeito.

Passo n igual a 2

Substituo cada segmento de reta azul
por um segmento com uma dobra

Portanto, isto fica

isto é para n igual a 2 .

E depois podia repetir isto mais uma vez.

Existem, vamos ver... 1, 2, 3, 4

16 destes segmentos de reta

Cada um destes 16 segmentos

é substituído por um segmento com
uma dobra no meio.

Certo,

Aqui está o passo n igual a 3.

E podíamos fazer mais alguns passos mas

iriamos ficar sem paciência.

Ok, este desenho não é o melhor

Claramente, não sou nenhum artista.

De qualquer maneira,
conseguimos perceber a ideia.

Mas, se quisermos experimentar mudar isto

e ir até um valor de n superior
para ver o que acontece

se tentarmos umas
regras algo diferentes aqui,

vamos precisar de um computador

que nos desenhe uma figura.

O que vou fazer agora

é mostrar um website

que nos irá permitir desenhar
curvas de Koch como estas

e muitas outras coisas interessantes.

Ok, isto é um programa
que permite desenhar

curvas de Koch e outras variações.

Deixem-me mostrar-vos
como funciona e depois

vamos começar a experimentar
um pouco.

E depois poderá experimentar
também um pouco.

Ok, primeiro,

Vamos aqui a baixo

e quero ter a certeza que

"Snap to grid" está selecionado

e o que isso irá fazer é:
à medida que movo estes pontos vermelhos

vai fazer com que eles vão
para pontos na grelha.

Existe um leve sombrado a cinzento

Talvez seja um bocado
difícil de ver no ecrã.

Mas posso fazer com que os
pontos fiquem presos aí.

Portanto, vou mover estes pontos

Para ter algo como isto

Ou seja, o que eu fiz foi criar aquela forma

aquele gerador, aquela reta com uma dobra

que é o centro da construção
da curva de Koch.

E depois posso mudar
o número de iterações.

e ir de n igual a 0 para 1, 2 como dantes.

Portanto, normalmente
começo com n igual a 1,

para poder ver como é o primeiro passo,

Descemos uma iteração

e começamos com um segmento de reta

O primeiro passo é agarrar
no segmento de reta

e substituí-lo por um
segmento com uma dobra.

E ficamos assim com 4 segmentos.

E agora substituímos cada um desses
segmentos por outro com uma dobra.

E depois substituímos cada um desses

por um segmento com uma saliência,
e assim por diante.

E obtemos uma boa curva de Koch

que o programa nos gera

Certamente muito melhor do que

aquela que eu desenhei à mão.

Vamos diminuir um pouco as iterações

Se quiséssemos ver o passo original,

podíamos clicar em
"view also" -> "#0 iteration"

E o programa desenha esta
linha amarela aqui em baixo

Não acho isto muito útil

Mas às vezes é bom saber qual a iteração inicial

porque é essa a transformação
geométrica básica

que é repetida uma e outra vez.

Portanto gosto de deixar
essa opção ativa, às vezes.

Para me lembrar de que

estou a partir de uma linha reta

e a transformá-la numa dobra,
aqui desenhada a azul

E depois podemos iterar isso

outra vez

e outra vez

e mais outra vez

Portanto, agora tenho uma ferramenta

que nos gera curvas de Koch.

E vou mostrar no próximo vídeo

que podemos também fazer muito mais.