Vamos começar a nossa exploração de métodos
para gerar fractais, olhando mais uma vez, para a curva de Koch.
Vamos ver que com algumas simples modificações
ao processo de geração da curva de Koch podemos gerar fractais
que são muito mais interessantes
e muito mais realistas, de várias formas.
Ao longo desta unidade,
Vou usar vários programas online
que podem ser acedidos através de diferentes websites.
E os links para todos os programas
que eu referir neste vídeos,
bem como alguns outros, encontram-se
numa subunidade, no final desta, chamada "computer programs".
Portanto, todos os links que iremos precisar devem estar lá.
Certo,
Vamos começar com a curva de Koch.
Aqui está então a curva de Koch.
Lembremo-nos que para a gerar, precisamos
de substituir um segmento de reta por outro com uma saliência
em cada passo
Esta é a operação básica.
Agarramos num segmento de reta
e transformamo-lo nisto.
E repetimos este processo.
Este é, portanto, o processo básico.
O passo de geração deste fractal.
Portanto, começamos com um segmento de reta como este, talvez.
N é igual a 0, isto estaria a preto.
E depois, no próximo passo, substituímos
este segmento de reta por um com uma saliência.
Portanto, a curva azul representa n igual a 1.
Agora tenho 1, 2, 3, 4 segmentos de reta
Na curva de Koch, todos devem ter o mesmo comprimento.
Isto não é, obviamente, um desenho perfeito.
Passo n igual a 2
Substituo cada segmento de reta azul por um segmento com uma dobra
Portanto, isto fica
isto é para n igual a 2 .
E depois podia repetir isto mais uma vez.
Existem, vamos ver... 1, 2, 3, 4
16 destes segmentos de reta
Cada um destes 16 segmentos
é substituído por um segmento com uma dobra no meio.
Certo,
Aqui está o passo n igual a 3.
E podíamos fazer mais alguns passos mas
iriamos ficar sem paciência.
Ok, este desenho não é o melhor
Claramente, não sou nenhum artista.
De qualquer maneira, conseguimos perceber a ideia.
Mas, se quisermos experimentar mudar isto
e ir até um valor de n superior para ver o que acontece
se tentarmos umas regras algo diferentes aqui,
vamos precisar de um computador
que nos desenhe uma figura.
O que vou fazer agora
é mostrar um website
que nos irá permitir desenhar curvas de Koch como estas
e muitas outras coisas interessantes.
Ok, isto é um programa que permite desenhar
curvas de Koch e outras variações.
Deixem-me mostrar-vos como funciona e depois
vamos começar a experimentar um pouco.
E depois poderá experimentar também um pouco.
Ok, primeiro,
Vamos aqui a baixo
e quero ter a certeza que
"Snap to grid" está selecionado
e o que isso irá fazer é: à medida que movo estes pontos vermelhos
vai fazer com que eles vão para pontos na grelha.
Existe um leve sombrado a cinzento
Talvez seja um bocado difícil de ver no ecrã.
Mas posso fazer com que os pontos fiquem presos aí.
Portanto, vou mover estes pontos
Para ter algo como isto
Ou seja, o que eu fiz foi criar aquela forma
aquele gerador, aquela reta com uma dobra
que é o centro da construção da curva de Koch.
E depois posso mudar o número de iterações.
e ir de n igual a 0 para 1, 2 como dantes.
Portanto, normalmente começo com n igual a 1,
para poder ver como é o primeiro passo,
Descemos uma iteração
e começamos com um segmento de reta
O primeiro passo é agarrar no segmento de reta
e substituí-lo por um segmento com uma dobra.
E ficamos assim com 4 segmentos.
E agora substituímos cada um desses segmentos por outro com uma dobra.
E depois substituímos cada um desses
por um segmento com uma saliência, e assim por diante.
E obtemos uma boa curva de Koch
que o programa nos gera
Certamente muito melhor do que
aquela que eu desenhei à mão.
Vamos diminuir um pouco as iterações
Se quiséssemos ver o passo original,
podíamos clicar em "view also" -> "#0 iteration"
E o programa desenha esta linha amarela aqui em baixo
Não acho isto muito útil
Mas às vezes é bom saber qual a iteração inicial
porque é essa a transformação geométrica básica
que é repetida uma e outra vez.
Portanto gosto de deixar essa opção ativa, às vezes.
Para me lembrar de que
estou a partir de uma linha reta
e a transformá-la numa dobra, aqui desenhada a azul
E depois podemos iterar isso
outra vez
e outra vez
e mais outra vez
Portanto, agora tenho uma ferramenta
que nos gera curvas de Koch.
E vou mostrar no próximo vídeo
que podemos também fazer muito mais.