Esta secção é uma revisão
das propriedades das potências e a seguir dos logaritmos.
Como já tinha dito, não há muita álgebra
neste curso, no entanto potências e logaritmos
vão aparecer bastante
portanto é importante estarem confortáveis com isso
Se não souber se precisa desta revisão
o que aconselho é o seguinte:
responda aos questionários presentes ao longo destes vídeos
e se conseguir resolver os questionários sem quaisquer problemas
então não há necessidade de ver esta secção.
Mas se os questionários forem algo confusos
ou tiver dúvidas acerca de um tópico
Nesse caso, volte atrás e reveja os vídeos
que vieram antes desse questionário.
Vamos ao que interessa, e vamos começar
por pensar em potências.
Vamos começar por pensar nas propriedades
dos expoentes
O ponto de partida é pensar
no que uma potência significa sequer.
Portanto, uma potência, como devem saber
é uma multiplicação sucessiva.
Por exemplo, 3 elevado à quarta potência
significa que agarramos no 3 e multiplicamo-lo por ele mesmo 4 vezes.
Ou seja, 3 elevado a 4 é 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3
que neste caso é...vamos ver
3x3 é 9, 3x3 é 9, 9x9 é 81
Ok, Desde que nos lembremos da definição de expoente
como sendo uma multiplicação sucessiva, tudo o resto fica bastante simples.
O que acontece se eu tiver algo como
3 elevado a 4 vezes 3 elevado a 2?
Bem...3 elevado a 4...quanto é isso? É 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3
...é esse o significado do expoente. Multiplicado por ele mesmo 4 vezes.
3 ao quadrado é 3 multiplicado por ele próprio...2 vezes....1...2...
Podemos ver que...se contarmos 1,2,3,4,5,6
Portanto o resultado é 3 elevado a 6.
Vemos assim que 3 elevado a 4 vezes 3 elevado a 2 é igual a 3 elevado a (4 mais 2)
e foi assim que obtivemos o 6
Multiplicamos o 3 por ele mesmo 4 vezes e depois multiplicamos mais duas vezes,
tudo multiplicado em conjunto,
é o mesmo que multiplicar 3 por ele mesmo 6 vezes.
Esta é então a nossa primeira propriedade dos expoentes:
x elevado a A vezes x elevado a B é igual a x elevado a (A + B)
Isto é importante,
por isso, vou rodear isto a roxo.
E se eu em vez de ter 3 elevado a 4 vezes 3 elevado a 2,
tiver 3 elevado a 4 a dividir por 3 elevado a 2?
Ou seja, noutras palavras, o que acontece se eu tiver isto:
3 elevado a 4 a sobre por 3 elevado a 2?
Bem, 3 elevado a 4 é 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3
3 elevado a 2 é 3 vezes 3
portanto podemos cortar...
e ficamos apenas com 3 vezes 3
que é 3 ao quadrado.
Então, o que aconteceu foi que tínhamos quatro 3's em cima
e dois 3's em baixo. Os três que estavam em baixo cortaram com dois dos de cima.
deixando-nos apenas com 2
portanto, por outras palavras, 3 elevado a 4 sobre 3 elevado a 2
é 3 elevado a (4 - 2), que foi como obtivemos o 3 elevado a 2
E isto dá-nos outra propriedade geral:
x elevado a A sobre x elevado a B é x elavado a (A - B)
E daqui podemos também concluir que
1 sobre x elevado a B é o mesmo que x elevado a menos B
E isso é outra propriedade importante.
Esta análise diz-nos o significado de um expoente negativo
Há várias maneiras de vermos isso
Uma é a seguinte:
Suponhamos que temos 3 elevado a 5 sobre 3 elevado a 7
Porque é que escolhi números tão grandes?
1, 2, 3, 4, 5... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Portanto, se eu cortar fico com
1 sobre 3 elevado a 2.
Mas se eu usar aqui esta regra
Isto seria 3 elevado a (5 menos 7)
que é 3 elevado a menos 2.
Portanto, há várias maneiras
de nos convencermos de que isto faz sentido
A ideia é que um número elevado a um expoente negativo
é o mesmo que 1 sobre um número elevado a esse expoente.
Ou seja, temos estas duas regras gerais para os expoentes.
e estas regras são obtidas diretamente, a partir da definição de exponenciação
como uma multiplicação sucessiva.
Vamos considerar dois casos especiais importantes.
Primeiro, qual é o resultado de 3 elevado a 1?
Várias maneiras de pensarmos nisto...
Suponhamos que eu fazia isto: 3 elevado a 3 sobre 3 elevado a 2
Isso dá-nos 3 vezes 3 vezes 3 sobre 3 vezes 3
E isso é apenas 3, certo?
Estes cortam, aqueles cortam também e fico apenas com 3.
Podia também usar esta regra. Isto é 3 elevado a (3 menos 2), que é 3 elevado a 1.
portanto 3 elevado a 1 é apenas 3.
E isto faz algum sentido, certo?
3 multiplicado por ele mesmo uma vez, é como se ficássemos só com o 3.
Isto é algo geral. Qualquer número elevado à primeira potência
dá-nos esse número de volta.
Certo, mais uma coisa para pensarmos...
que é: quanto é 3 elevado a 0?
Isso deve ser igual a quê?
Bem, vamos fazer algo semelhante ao que fizemos aqui
Vamos fazer por exemplo 3 ao quadrado sobre 3 ao quadrado
Eu sei que nem sequer preciso de multiplicar isto
dá 1...porque tenho a mesma coisa
em cima e em baixo.
Mas também podia escrever usando isto...
Isto é 3 elevado a (2 menos 2)... 2 menos 2 é 0
Ah! Isto mostra-nos que 3 elevado a 0 é 1.
E isto é algo que confunde muita gente.
3 multiplicado por ele mesmo 0 vezes
Qual deve ser o resultado?
Quase que parece que devia ser 0...
E podemos argumentar isso.
Mas um número elevado a 0
é definido como sendo 1 e a razão é que
se assim for, continua a obedecer a estas regras.
O que importa reter é que x elevado a 0 é 1.
E isto é verdade a não ser que x seja 0.
Por último mas não menos importante, vamos pensar em raízes quadradas e expoentes.
Suponham que eu tenho algo como a raiz quadrada de 3
Quero saber como é que posso pensar nisto?
Posso escrever isto como uma potência?
Vamos então pensar no que significa a raiz quadrada de 3.
Pela definição, a raiz quadrada de 3 é um
número que multiplicado por ele mesmo
raiz quadrada de 3 vezes raiz quadrada de 3
obtenho 3.
Acabámos de ver há bocado que 3
é na verdade 3 elevado a 1, então posso dizer que a raiz quadrada de 3
deve ser 3 elevado a um meio.
Porquê? Porque a regra do expoente diz que
tenho que adicionar isto
3 elevado a (um meio mais um meio)
é igual a 3 elevado a 1.
Ou seja, a regra geral é que
a raiz quadrada de x é x elevado a um meio.
E podemos generalizar isto usando
um argumento semelhante, e dizer que
a enésima raiz de x é x elevado a (1 sobre n).
Estas são então as propriedades básicas
dos expoentes. Tente praticá-las.
Tente resolver os questionários
para ter a certeza
de que percebe como tudo isto funciona
e depois vamos continuar
com os logaritmos.