هذا القسم هو مراجعة
لخصائص الأسس، وثمّ اللوغاريتمات.
كما ذكرت سابقاًَ، لا يوجد الكثير من الجبر
في هذه الدورة، لكن الأسس واللوغاريتمات
سوف يظهرون طوال الوقت،
لذلك إنّه من الهام أن تكون مرتاحاً جداً في التعامل معهم
إن لم تكن متأكداً إن كنت تحتاج هذه المراجعة
ما سأقترحه عليك هو كالتالي:
خذ الأختبارات القصيرة التي تتخلل هذه الفيديوهات
وإن كان بإمكانك القيام بالإختبارات القصيرة بدون أي مشاكل
عندئذٍ لايوجد هناك حاجة لتشاهد الفيديو.
لكن إن كانت الإختبارات القصيرة مربكة بعض الشيء،
أو كنت غير متأكد حول الموضوع
عندئذٍ عُد وشاهد الفيديو الذي
يأتي قبل الإختبار القصير مباشرةً.
دعونا نبدأ، وسنبدأ من خلال
التفكير بالأسس.
سنبدأ من خلال التفكير بخصائص
الأسس
نقطة البداية هي التفكير
بما تعنيه الأسس، على أي حال.
إذاً الأس كما تعرف على الأرجح
يعني عملية ضرب متتابعة.
كمثال، 3 مرفوعة للقوة الرابعة
تعني أنّنا نأخذ 3 نضربها بنفسها 4 مرات. إذاً
3 مرفوعة إلى 4 هي 3 في 3 في 3 في 3
والذي سيكون في هذه الحالة... دعونا نرى...
3 في 3 هي 9، 3 في 3 هي 9، 9 في 9 هي 81
طالما تتذكر أن تعريف الأس
هو عملية ضرب متتابعة، كل شيء ينتج بسرعة جداً.
ماذا إن كان لدي شيءٌ كـ
3 مرفوعاً إلى 4 في 3 مرفوعاً إلى 2؟
حسناً... 3 مرفوعاً إلى 4.. ما هي؟ هي 3 في 3 في 3 في 3
...ذلك ما يعنيه الأس. مضروب بنفسه 4 مرات.
3 مربعة تعني مضروبة بنفسها مرتين... 1... 2...
إذاً يمكننا أن نرى.. يمكننا أن نعد فقط. 1, 2, 3, 4, 5, 6
إذاً هذه 3 إلى القوة السادسة.
إذاً نرى، 3 مرفوعة إلى 4 في 3 مرفوعة إلى 2 يساوي إلى 3 مرفوعة إلى (4 زائد 2)
وذلك كيف أحصل على 3 إلى القوة السادسة
إنّك تضرب 3 بنفسها 4 مرات، وثمّ تضرب 3 بنفسها مرتين
وتضرب هؤلاء معاً، ذلك
نفس ضرب 3 بنفسها 6 مرات.
إذاً تلك هي أول خاصية أو قاعدة للأسس:
x مرفوعة إلى a في x مرفوعة إلى b هي x مرفوعة إلى (a زائد b).
ذلك مهم،
إذاً سأضع ذلك في صندوق بنفسجي.
ماذا لو، بدلاً من أن يكون لدينا 3 مرفوعة إلى 4 في 3 مرفوعة إلى 2،
يكون لدينا 3 مرفوعة إلى 4 مقسمة على 3 مرفوعة إلى 2؟
إذاً، في كلماتٍ أخرى، ماذا لو كان لدينا هذا:
3 مرفوعة إلى 4 على 3 مرفوعة إلى 2؟
حسناً، 3 مرفوعة إلى 4 هي 3 في 3 في 3 في 3
3 مرفوعة إلى 2 هي 3 في 3
إذاً يمكننا أن نحذف...
ونبقى مع 3 في 3
والتي هي 3 مربعة.
ولذلك ماذا يحدث هو أنّنا لدينا 4 ثلاثات بالأعلى هنا
ثلاثتان بالأسفل هنا. الثلاثات التي في الأسفل تحذف ثلاثتان من الثلاثات في الأعلى
تاركةً إيانا مع 2
إذاً بعبارة أخرى، 3 مرفوعة إلى 4 على 3 مرفوعة إلى 2
هي 3 مرفوعة إلى (2-4) وذلك كيف نحصل على 3 مرفوعة إلى 2.
ويعطينا ذلك خاصية عامة أخرى:
x مرفوعة إلى a على x مرفوعة إلى b هي x مرفوعة إلى (a-b)
ويتبع من هذا أنّ
1 على x مرفوعة إلى b هي نفس الشيء كـ x مرفوعة إلى b-
إذاً ذلك خاصية هامة أخرى.
يخبرنا هذا التحليل ماذا يجب أن تعنيه الأسس السالبة.
يوجد n عدد من الطرق لرؤية ذلك.
ربما أحد الطرق هي كالتالي:
افترض أنّ لدينا 3 مرفوعة إلى 5 على 3 مرفوعة إلى 7
[ملاحظة] لماذا اخترت أعداد كبيرة هكذا؟
1, 2, 3, 4, 5... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
إذاً، إذا حذفت، أبقى مع
1 على 3 إلى 2.
لكن هنا إذا استخدمنا هذه القاعدة،
ستكون هذه 3 مرفوعة إلى (5 ناقص 7)
والتي هي 3 مرفوعة إلى ناقص 2.
إذاً، يوجد عدد من الطرق المختلفة
لتقنع نفسك أنّ هذا يبدو منطقياً.
الخلاصة هي أنّ عدد مرفوع إلى أس سالب
هو نفس 1 على عدد مرفوع إلى ذلك الأس.
إذاً، لدينا هاتين القاعدتين العامتين للأسس.
ويتبع هذا مباشرةً من تعريف الأسية
كعملية ضرب متتابعة.
دعونا ندرس حالتين خاصتين هامتين
أولاً، ماذا قد تساوي 3 مرفوعة إلى القوة الأولى؟
عدة طرق للتفكير بهذا...
افترض أني فعلت هذا: 3 مرفوعة إلى 3 على 3 مرفوعة إلى 2؟
ذلك 3 في 3 على 3 في 2.
وذلك 3 فقط، صحيح؟
ينحذف هؤلاء، ينحذف هؤلاء ولقد بقيت مع 3.
أستطيع أيضاً أن استخدم هذه القاعدة. هذه 3 مرفوعة إلى (3 ناقص 2) والذي هو 3 مرفوعة إلى 1.
إذاً 3 إلى 1 هي 3 فقط؟
وذلك يبدو منطقياً نوعاً ما، صحيح؟
3 مضروبة بنفسها مرة واحدة يبدو كأنك بقيت مع 3.
ذلك شيءٌ عام. حيث أنّ أي عدد غير الصفر مرفوع إلى القوة الأولى
يعود ويعطي فقط نفس العدد.
شيءٌ آخر لتفكر به...
وذلك هو: ماذا عن 3 مرفوعة إلى 0؟
ماذا يجب أن يساوي ذلك؟
حسناً، دعونا نقوم بشيءٍ مشابه لما قمت به هنا...
سأقوم بـ ... لنقل 3 مربعة على 3 مربعة.
أعلم، لا أحتاج إلى ضرب هذا حتى
ذلك 1... لأنّ لدي نفس الشيء
في الأعلى ونفس الشيء في الأسفل.
لكن أستطيع كتابة هذا باستخدام هذا...
هذه 3 مرفوعة إلى (2 ناقص 2) ... 2 ناقص 2 هو 0
إذاً هاا! يرينا هذا أنّ 3 إلى 0 هي 1.
وتعثّر هذه الناس أحياناً.
هناك معنى في أنّ 3 مضروبة بنفسها
0 مرة... ماذا يجب أن يكون ذلك؟
يُعتَقد أنّها يجب أن تكون صفر نوعاً ما...
وهناك برهان موجود لها.
لكن عدد مرفوع للقوة 0
محدد بأن يكون 1، والسبب هو
أنّه عندئذً يصون هذه القواعد الدقيقة.
الخلاصة هي أنّ x مرفوعة إلى 0 تساوي 1.
تلك قاعدة جارية طالما x لا تساوي 0.
أخيراً وليس آخراً، دعونا نفكر بالجذور التربيعية والأسس.
افترض أنّ لدي يشيئاً ما كالجذر التربيعي لـ 3
أريد أن أعلم، كيف يمكن أن أفكر بهذا؟
وهل يمكنني أن أكتب ذلك كأس؟
إذاً دعونا نفكر بما يعنيه الجذر التربيعي لـ 3.
وفقاً للتعريف، الجذر التربيعي لـ 3 هو
عدد والذي إذا ضربته بنفسه
الجذر التربيعي لـ 3 في الجذر التربيعي لـ 3
أعود وأحصل على 3.
لقد رأينا منذ لحظة أنّ 3 هي
حقاً 3 إلى 1، إذاً أدّعي أنّ الجذر التربيعي لـ 3
يجب أن يكون 3 مرفوعة إلى نصف.
لماذا؟ لأنّ قاعدة الأس تقول أنّه
يجب أن أضيف هؤلاء.
3 مرفوعة إلى (نصف زائد نصف)
يساوي 3 مرفوعة إلى1.
إذاً القاعدة العامة هي أنّ
الجذر التربيعي لـ x هو x مرفوعة إلى نصف.
ويمكنك أن تعمم هذا من خلال
برهان مشابه جداً بأنّ الجذر ذو الترتيب n لـ x
هو x مرفوعة إلى (1 على n)
إذاً هؤلاء هم الخصائص الأساسية
للأسس. خذ فترة
لتتمرّن عليهم. جربهم
في بعض الإختبارات القصيرة التالية لتتأكّد
من أنّك ترى كيف يعمل كل هذا
ومن ثمّ سنمضي ونفكر
باللوغاريتمات.