Neste vídeo, vamos continuar a falar de autossimilaridade.
Em primeiro lugar, convém lembrar que
autossimilaridade significa que
um objeto é feito de cópias mais pequenas dele próprio.
Parecendo igual em escalas diferentes.
Além do mais, a autossimilaridade verifica-se em várias escalas.
Portanto, não é como se tivéssemos um objeto
com apenas uma cópia por dentro.
A ideia é que se repete.
Temos uma forma maior
Composta por formas mais pequenas,
essas formas são compostas por outras mais pequenas
e essas mais pequenas, por outras mais pequenas e assim por diante
E em termos matemáticos, para um fractal,
esse comportamento continua para sempre,
à medida que continuamos a fazer zoom na figura,
num fractal matemático,
continuamos a ver cada vez mais dessa mesma forma.
A curva de Koch é um exemplo. Se continuarmos a fazer zoom,
Se a figura tivesse resolução infinita e conseguisse focar.
iríamos continuara ver esta mesma forma
a repetir-se uma e outra vez.
Ok portanto, um fractal, um objeto que é autossimilar
são muitas vezes ditos livres de escala
Não têm um sentido de comprimento,
escala ou tamanho típicos associado.
Vamos tentar ilustrar isto de algumas maneiras diferentes.
Na ciência e no quotidiano, a escala ou
tamanho de alguma coisa é muitas vezes
das primeiras coisas em que pensamos
Ou seja, por exemplo, tomates.
Estamos no final do Verão aqui no hemisfério Norte.
e já só temos algumas semanas
talvez um mês para apanhar tomates das nossas tomateiras.
Portanto, isto é um tomate
que apanhei do meu jardim esta manhã
e os tomates têm um tamanho típico.
Talvez exista um tomate
um bocado mais pequeno que este.
Existem, certamente, tomates maiores que este.
Este tomate não é propriamente gigante.
Mas seria bastante improvável ter um tomate
com um peso superior a 1 quilo.
E existem tomates mais pequenos,
temos este pequeno tomate chucha
que apanhei esta manhã.
E normalmente, não encontramos tomates muito mais pequenos.
A ideia é que existe um tamanho típico
associado a um tomate.
Os tomates têm um tamanho médio
e depois temos alguns maiores, outros mais pequenos
Não existem tomates de todos os tamanhos possíveis.
Não temos tomates microscópicos.
Não existem tomates do meu tamanho,
ou do tamanho de uma casa, de uma baleia e assim por diante
Ok portanto, os tomates têm uma escala.
Ou seja...outra maneira de pensar nisto é:
se eu quiser indicar o tamanho de algo
posso meter uma imagem de uma batata,
podia meter um tomate ao lado para comparar.
E diríamos: tem aproximadamente o tamanho de um tomate
Porque os tomates têm um tamanho.
Ok, os fractais, pelo contrário,
aqui está o triângulo de Sierpinsky outra vez,
os fractais não têm um tamanho característico.
Qual é o tamanho típico de um triângulo dentro do triângulo de Sierpinsky?
Bem, há triângulos de todos os tamanhos.
É essa a ideia, como vimos
à medida que fazemos cada vez mais zoom
vemos cada vez mais triângulos.
E em termos matemáticos, isso repete-se indefinidamente
Portanto, temos triângulos de todos os tamanhos.
E isso é uma situação bastante diferente da dos tomates
na medida em que os tomates têm uma gama de tamanhos relativamente pequena.
Certo, aqui está outra maneira de pensar nisto.
Portanto, mais uma vez, se um objeto é livre de escala
Não temos nenhuma pista quanto ao seu tamanho.
Um tomate é uma pista acerca de um tamanho
Mas um triângulo dentro do triângulo de Sierpinsky não é.
Vamos tentar ver isto de outra forma.
Vamos supor que uma manhã, eu acordava
e tinha sido encolhido.
De repente, era bastante
mais pequeno do que era antes.
Talvez fosse do tamanho deste boneco, agora.
É horrível pensar sequer em tal coisa.
Espero que pelo menos ainda tenha dois braços.
Portanto, suponhamos que fui encolhido desta maneira.
Bem, eu iria reparar logo que era mais pequeno.
Porque a minha cama seria gigantesca.
Um tomate era capaz de me alimentar por uma semana.
Seria do tamanho do meu gato.
O meu gato podia ser um perigo para mim
Existem uma série de termos de comparação
para tamanhos no mundo que nos rodeia.
Podiamos perceber de imediato que tinhamos sido encolhidos,
ou que eu tinha sido encolhido.
Por outro lado, vamos imaginar
não é um exercício fácil
mas imaginemos que vivemos dentro do triângulo de Sierpinsky.
não no nosso mundo,
não no mundo real, mas num mundo fractal como este
Este mundo é composto por triângulos
e triângulos e mais triângulos
e como vimos, de cada vez que duplicamos o tamanho
ficamos com 3 vezes mais triângulos.
temos então triângulos dentro de triângulos, dentro de triângulos.
Se eu viver neste mundo
e fosse encolhido numa manhã de repente,
eu não me iria aperceber,
não existe nenhuma escala aqui.
Não há nenhum tomate
nem nenhum gato ou almofada.
É apenas um mundo de triângulos,
e triângulos e mais triângulos.
Podemos também pensar
se eu vivesse numa árvore
uma árvore infinita
em que alguns ramos iam ficando cada vez maiores
e outros cada vez mais pequenos.
Eu não iria conseguir dizer de que tamanho era.
Tudo o que eu sei é que existem ramos que têm esta relação
que se verifica a diversas escalas.
Portanto, esta é outra maneira de pensar
no que significa algo ser livre de escala.
E uma destas consequências das formas autossimilares.