Aqui está a solução do questionário 2.

Portanto, primeiro temos um triângulo

e triângulos são bidimensionais.

Então, o que aconteceria a esta área

se eu ampliasse a figura por um fator de 2,
ou 3 melhor dizendo, desculpem.

3 ao quadrado seria 9.

Portanto, se eu conseguir desenhar isto,

Ampliamos esta figura por um fator de 3.

E esta área é 9 vezes maior
do que a original.

Ok, problema 2,

Agora estamos a trabalhar com um cubo.

E um cubo tem uma dimensão de 3.

e desta vez, o fator de ampliação
é inferior a 1.

Estamos portanto a encolher o cubo,
vamos tentar desenhar isso

Então agarrámos no cubo e encolhemo-lo

por um fator de 3, nesta direção,

num fator de 3 desta direção,

e por um fator de 3 nesta direção.

O que acontece,
temos portanto um terceiro cubo.

este 3 está aqui porque a dimensão é 3.

É porque estamos a encolher
o cubo por um fator de 3.

É um terço do tamanho que era antes,

que dá 1 sobre 27.

O volume do cubo pequeno é assim

um 27 avos do volume do cubo maior.

A última pergunta do questionário
é sobre o triângulo de Sierpinsky.

Convém lembrar que
a dimensão era log3 sobre log2

o que é cerca de 1.585

Portanto, o que acontece se
ampliarmos isto por dois?

O que temos estado a fazer é
agarrar no fator de ampliação,

neste caso 2, e elevá-lo à dimensão D.

E agora o que acontece é que
essa dimensão não é inteira.

Mas não há problema.

Podemos fazer isso
numa calculadora, pelo menos.

2 elevado a 1.585

É cerca de 3, quase 3 exatamente.

Vamos então pensar no que isso significa

não é nenhuma coincidência.

Portanto, se eu começar com o
triângulo de Sierpinsky deste tamanho,

E o ampliar por um fator de 2,

obtenho isto.

Este comprimento é ampliado por 2

e aquele comprimento
também é ampliado por 2.

Quanto mais tinta existe nesta figura?

Comparada com esta,

bem, podemos ver que
a forma maior tem 1, 2, 3.

e a forma pequena tem 1.

Logo é daqui que vem o 3.

Portanto, o que uma
dimensão destas nos diz

é que cada vez que ampliamos
esta figura por um fator de 2,

Duplicamos todos estes comprimentos.

A massa ou volume ou tamanho
da forma aumenta 3 vezes.

Então, isto dá-nos outra
maneira de pensar na dimensão.

Diz-nos como as propriedades
de um objeto mudam

à medida que o tamanho do objeto
é encolhido ou ampliado.