Aqui está a solução do questionário 2.
Portanto, primeiro temos um triângulo
e triângulos são bidimensionais.
Então, o que aconteceria a esta área
se eu ampliasse a figura por um fator de 2, ou 3 melhor dizendo, desculpem.
3 ao quadrado seria 9.
Portanto, se eu conseguir desenhar isto,
Ampliamos esta figura por um fator de 3.
E esta área é 9 vezes maior do que a original.
Ok, problema 2,
Agora estamos a trabalhar com um cubo.
E um cubo tem uma dimensão de 3.
e desta vez, o fator de ampliação é inferior a 1.
Estamos portanto a encolher o cubo, vamos tentar desenhar isso
Então agarrámos no cubo e encolhemo-lo
por um fator de 3, nesta direção,
num fator de 3 desta direção,
e por um fator de 3 nesta direção.
O que acontece, temos portanto um terceiro cubo.
este 3 está aqui porque a dimensão é 3.
É porque estamos a encolher o cubo por um fator de 3.
É um terço do tamanho que era antes,
que dá 1 sobre 27.
O volume do cubo pequeno é assim
um 27 avos do volume do cubo maior.
A última pergunta do questionário é sobre o triângulo de Sierpinsky.
Convém lembrar que a dimensão era log3 sobre log2
o que é cerca de 1.585
Portanto, o que acontece se ampliarmos isto por dois?
O que temos estado a fazer é agarrar no fator de ampliação,
neste caso 2, e elevá-lo à dimensão D.
E agora o que acontece é que essa dimensão não é inteira.
Mas não há problema.
Podemos fazer isso numa calculadora, pelo menos.
2 elevado a 1.585
É cerca de 3, quase 3 exatamente.
Vamos então pensar no que isso significa
não é nenhuma coincidência.
Portanto, se eu começar com o triângulo de Sierpinsky deste tamanho,
E o ampliar por um fator de 2,
obtenho isto.
Este comprimento é ampliado por 2
e aquele comprimento também é ampliado por 2.
Quanto mais tinta existe nesta figura?
Comparada com esta,
bem, podemos ver que a forma maior tem 1, 2, 3.
e a forma pequena tem 1.
Logo é daqui que vem o 3.
Portanto, o que uma dimensão destas nos diz
é que cada vez que ampliamos esta figura por um fator de 2,
Duplicamos todos estes comprimentos.
A massa ou volume ou tamanho da forma aumenta 3 vezes.
Então, isto dá-nos outra maneira de pensar na dimensão.
Diz-nos como as propriedades de um objeto mudam
à medida que o tamanho do objeto é encolhido ou ampliado.