سأقدم في هذا الفيديو طريقة مختلفة قليلاً
للتقكير بالبُعد.
عندما قدّمت بُعد التشابه الذاتي
الحالة كانت أنّنا لدينا شيء
وإنّنا نحاول أن نكتشف البّعد
من خلال النظر إلى كم من النسخ الصغيرة تتسع في النسخة الكبيرة .
في هذا الفيديو، سآخذ منظور مختلف قليلاً.
سنتخيل أنّنا نعرف مسبقاً
بُعد شيء ومن ثمّ يمكننا استخدام
ذلك لنتوقع ماذا يحدث لذلك الشيء
عندما نزيده أو نخفضه.
سأبدأ من خلال النظر إلى بعض الأشياء الهندسية
البسيطة مع بُعد صحيح.
إذاً دعونا نفكر بما يحدث للأشكال
إذا زدناهم.
سأشرح ما أعنيه خلال ثانية.
إذاً ها هنا 3 أشكال الذين رسمتهم،
ليس بشكل جيد جداً لكن لقد رسمتهم بنفسي.
إذاً ها هنا خط، والذي هو أحادي البُعد.
ها هنا مربع والذي هو ثنائي البُعد.
وهنا مكعب والذي هو ثلاثي البُعد.
إذاً ماذا سيحدث إذا أخذت هذه الأشكال
وضاعفتهم بالحجم.
ولقد فعلت ذلك من خلال الذهاب
إلى الطابق السفلي في مبنى مكتبي
وصنع نسخة من هذه الرسمة،
ولقد طلبت من الآلة أن تجعلها أكبر بمرتين.
إذاً لقد تضاعفت هذه.
هذه مضاعفة.
هذا الطول مضاعف وهكذا.
إذاً السؤال هو ماذا سيحدث
للحجم الكلي، لنقل، الحجم الرئيسي لهذه الأشكال.
حسناً، إذاً لدينا خط، ولقد ضاعفته.
حسناً، هذا الخط الآن أكبر بمرتين عما كان سابقاً.
إن كان كذلك، سيستخدم هذا ضغف مقدار الحبر،
إن كان هذا قطعة معدن
ستزن ضعف وزنها.
إن كانت هذه، لنقل، قطعة من سجادة
وضاعفتها.
هذه السجادة الآن هي أكبر بـ 4 مرات.
إن كان لدى هذا ضلع، ضلع 1،
وهذا لديه ضلع 2، 2 في 2 يساوي 4.
إذاً منطقة 1 تذهب إلى منطقة 4
وهذا في الأساس
نفس نوع العملية الحسابية التي قمنا بها،
نفس نوع التفكير الذي قمنا به،
عندما حسبنا بُعد التشابه الذاتي.
عدد النسخ الصغيرة يساوي عامل التكبير مرفوعاً للقوة D.
إذاً بالنسبة للخط،
الذي لدينا عندما كبّرناه.
إذاً نضاعفه 2 إلى D، آسف،
الخط 2 إلى 1 هو 2
إذاً نضاعف عامل التكبير الآن هو 2،
لدينا ضعف الخطوط،
ضعف الخطوط الصغيرة كما فعلنا سابقاً.
بالنسبة للمربع، إنّه 4.
إذاً أنا أفكر الآن، ليس فقط
بعدد النسخ الصغيرة،
ربما شيئاً ما ككتلة شاملة
منزوعة المواد،
هذه سجادة مربعة أو شيئاً ما
منزوعة المواد في السجادة.
وثمّ بالنسبة للمكعب، المكعب هو ثلاثي البُعد.
إذا لدينا هذا المكعب وصورة لمكعب ثابت هنا
وبعدئذٍ لدينا آلة سحرية
التي تضاعف حجم المكعب الثابت
سيكون لدينا 8 أضعاف ما سبق
إن كان هذا طول 1، هذا المكعب لديه حجم 1.
هذا طول 2.
2 في 2 في 2 سيعطيني 8.
يمكنك أيضاً تخيل أنّ 1,2,3,4,5,6,7,8
هذه المكعبات تتسع هنا.
إذاً بالنسبة للمكعب،
سيكون لدينا 2 مكعب تساوي 8.
إذاً إذا وضعت خط هنا، مربع، مكعب
في آلة النسخ وسألت
بكم هم أكبر،
وبكم مرة هم أضخم أكثر،
آلة النسخ تلك تقوم بأشياء مختلفة: 2، 4 و 8
يمكنك تخيل آلة نسخ تعمل على الحجم أيضاً.
إذاً ربما هذه طابعة أو ناسخة
ثلاثية الأبعاد نوعاً ما. حسناً.
إذاً الآن، دعونا نفكر بالأشكال المختلفة.
إذاً هذا منحني Koch.
إذاً ها هنا منحني Koch صغير.
ومن ثمّ لقد قعلت الشيء نفسه.
لقد وضعته في آلة النسخ
وقلت حسناً اجعليه أكبر بمرتين.
إذاً السؤال الآن هو إذا ذهبت من هذا إلى هذا،
بكم هذا أكبر؟
يقاس الأكبر بمصطلحات،
ربما الكمية الكلية للحبر
التي سأحتاجها لأصنع هذا.
أو إن كنت أبني منحوتة،
بكم أثقل سيكون هذا عن ذلك.
وقد تفكر، أوه، حسناً،
إنّه خط، إذاً ليكون فقط أكبر بمرتين.
لكن ليس لديه بُعد أحادي.
إنّه ليس خطاً في الواقع، إنّه كُسير.
إنّه بين البُعد 1 و 2.
إذاً بُعد منحني Koch كان حوالي 1.262
إذاً بكم منحني Koch الأكبر بمرتين، أكبر.
دعونا نرى. سأحتاج أن آخذ 2
و أرفعها إلى 1.262
وأحصل على 2.399، دعونا ندعوه حوالي 2.4
إذاً البُعد بين 1 و 2،
سلوك مضاعف بين خطوط ومربعات،
إذاً ربما هذه طريقة هندسية
أقل وضوحاً للتفكير بالبُعد.
إنّها حقاً نفس بُعد التشابه الذاتي كما ذكرنا سابقاً.
إنّه فقط المنظور المختلف.
لكنها طريقة أخرى للتفكير
بما تعنيه هذه الأعداد،
إن كان شيئاً ما بعده 1.26
يبدو بعيداً جداً من الغريب،
ربما أقرب للطريقة المألوفة
بالتفكير فقط بماذا يحدث
عندما تضاعف حجم الشكل.
تتضاعف بعض الأشكال عندما
تضاعف الحجم،
تتضاعف بعضها، يزيدوا بمقدار 2 إلى 2 ذلك 4.
أحياناً يزدادوا بـ 8.
وها هنا شكل حيث
السلوك هو 2 إلى 1.262
إذاً تلك طريقة أخرى للتفكير بالبُعد،
إنها تُخبر الحجم الكلي أو الكتلة
أو المقدار أو تغيرات الشكل
إذا زدناه أو خفضناه.