في هذا الفيديو سنفكر بالمنطقة
في محيط مثلث Sierpinski.
وسيكون هذا مشابه
للعمليات الحسابية والاعتبارات التي استخدمناها
عند اكتشاف طول منحني Koch.
وفي مسار هذا الفيديو
سأقدم لكم حلول الإختبار القصير السابق.
إذاً ها هي الخطوات
والتفسيرات لمثلث Sierpinski.
ولقد قررت أنّ خطوة 0 في البداية،
سأدعو هذه المنطقة A.
إذاً عندئذٍ، ما هي هذه المنطقة هنا؟
حسناً، يمكنك أن ترى ما يحدث هو أنّ هذا المثلث
يُقسم إلى أربع مثلثات متساوية،
أحد منها مفقود.
إذاً بالخطوة 1، المنطقة هي ثلاث أرباع
مما كان لدينا بالأصل.
حسناً، لأنّ هنا حيث سنذهب ، ربع واحد، ربعين،
ثلاثة أرباع، أربعة أرباع، لكن هذا الربع مفقود.
حسناً، ماذا عن الخطوة 2؟
حسناً، يحدث نفس الشيء مجدداً.
سنزيل ربع من هذا المثلث.
لدى هذا المثلث ربع مُزال.
إذاً ما بقي لدينا هو 3 أرباع لـ 3 أرباع.
ذلك 3 أرباع مربّعة، 3 أرباع في 3 أرباع.
في الخطوة n،
لدينا ثلاثة أرباع مرفوعة للقوة n
ضرب المساحة الأصلية.
وبعدئذٍ كلما تقترب n من اللانهاية
كلما نذهب أبعد وأبعد في هذه البنية،
تقترب المنطقة لـ 0 أكثر وأكثر.
إذاً نبدأ بمثلث
وبالوقت الذي نحافظ فيه على الخطوة الكثير من المرات
حتى أكثر من هذه.
نبقى مع مثلثات تصبح أصغر وأصغر
وأصغر طوال الوقت،
إذاً المنطقة الكلية لهذا الشكل تذهب نحو 0.
إذاً الآن دعونا نفكر
بمحيط مثلث Sierpinski.
إذاً في البداية عند الخطوة 0،
دعونا نقول أنّ كل ضلع هي بطول 1،
إذاً المحيط هو 1، 2، 3.
إذاً لدينا خطوة 0، المحيط هو 3.
إذاً لدينا هنا 3 أضلاع، كلٌ منها بطول 1.
الآن لدينا 9.... 1,2,3,4,5,6,7,8,9
إذاً عدد الأضلاع
يرتفع بعامل 3،
لكن كل ضلع لوحده هو بنصف الطول.
صحيح، لأنّ هذا الضلع هي 1،
كلٌ من هذه الأضلاع هو النصف فقط.
إذاً هناك 3 أضعاف عدد الأشياء لكن بنصف الكبر
إذاً المحيط، هذه هي الخطوة 1،
المحيط الذي بدأنا عند 3،
لكن يّضرب ذلك بـ 3 أنصاف.
لأنّه يوجد 3 أضعاف ما سبق
لكن كل واحد هو نصف الكبر
القصة مشابهة، عند الخطوة 2 تماماً.
كل مثلث لديه 3 أضلاع يتحول إلى
أحد هؤلاء والذين لديهم 9… 1,2,3,4,5,6,7,8,9
إذاً مجدداً عدد الأضلاع يرتفع بعامل 3،
يوجد 3 أضعاف عدد الأضلاع السابقة
لكن كل ضلع لوحده هو بنصف الطول.
هذا الضلع هو بنصف طول ذلك
إذاً يعني ذلك أنّه 3 أنصاف مما كان لدينا سابقاً.
إذاً إنّه 3 أنصاف لـ 3 أنصاف لـ 3
أو 9 أرباع لـ 3
أو ربما يجب أن نكتبها بهذه الطريقة
3 أنصاف مربعة لـ 3.
وعند الخطوة n، إنّها 3 أنصاف لـ n
في 3 محيطنا الأصلي هنا.
إذاً الفكرة التي يجب ملاحظتها هو أنّ
هذه الأعداد تصبح أكبر.
3 أنصاف، ذلك 1.5
إنّك تضرب 3 في 1.5 في 1.5 في 1.5
تصبح هذه الأعداد أكبر وأكبر.
وكلما تكبر n، كلما تذهب n إلى اللانهاية.
وبينما نفعل هذا أكثر وأكثر،
سوف يذهب المحيط إلى اللانهاية أيضاً.
إذاً هذا الشكل، مثلث Sierpinski،
بعدما ننفذ هذه العملية العديد من المرات،
ستقترب المنطقة من الصفر أكثر وأكثر
لكن محيط الشكل
يصبح أكبر وأكبر.
وفي الحد الرياضي حيث تذهب n إلى اللانهاية،
هذا الشكل مساحته 0 لكن محيطه هو لانهاية
إذاً أخيراً، نفكر ببُعد مثلث Sierpinski.
تذكر من الوحدة الفرعية السابقة أنّنا حسبنا
البُعد وقد كان حوالي 1.585
مجدداً عدد بين 1 و 2.
إذاً كما كنت أقول من قبل لمنحني Koch ،
يعني هذا أنّ لديه ميزات ثنائية البُعد
وبعض ميزات أحادية البُعد.
إذاً إنّه بمعنى ثنائي البُعد نوعاً ما
بحيث إنّه بدأ كشكل ثنائي البُعد، مثلث،
لكننا نزيل منه أكثر وأكثر،
وما بقي معنا هو مثلثات أصغر وأصغر،
في الواقع عندما تنفذ هذا إلى مالانهاية،
ما يتبقى لديك حقاً هو قطع مستقيمة والتي بُعدها 1.
طريقة أخرى لتفكر بهذا هي، لقد بدأنا بشيءٍ ما
والذي هو منطقة ثنائية البُعد، مثلث،
لكن ما تبقى معنا هنا هو كل المحيط ولا يوجد أي منطقة على الإطلاق.
إذاً كأنّ البُعد الثاني
يتقلص بعيداً نوعاً ما ويصبح قريباً جداً للبُعد الأول، كله محيط، ولا مساحة.
إذاً كل المحيط، كل الأطوال، لا يوجد منطقة ، ذلك أحادي البُعد
لكن لقد بدأت كثنائي البُعد.
إذاً مجدداً قد تكون هذه طريقة بديهية قليلاً
للتفكير بهذه الأشياء مع هذا البُعد المضحك بين 1 و 2.
إنّهم أحاديين البُعد نوعاً ما وإنّهم ثنائيين البُعد نوعاً ما.