Na última subunidade, introduzimos a dimensão de autossimilaridade.
E calculamos a dimensão de autossimilaridade para três fractais diferentes.
O fractal "snowflake", o triângulo de Sierpinsky e a curva de Koch.
Nesta subunidade, vamos fazer outras observações acerca de fractais
incluindo pensar no significado da dimensão de autossimilaridade e
e o que significa dizer que algo é independente da escala.
Vou também tentar abordar uma questão
que provavelmente já vos passou pela cabeça:
como funcionam as dimensões não inteiras?
Como é que pode fazer sentido
para um objeto ter uma dimensão que não é 1 nem 2,
mas sim algo entre esses valores. Como podemos sequer pensar nisso?
Para começar a abordar essa questão
e arranjar novas maneiras de pensar nisto
vamos começar por perguntar:
Qual o comprimento da curva de Koch?
Portanto a questão era qual o comprimento da curva de Koch.
Convém lembrar que calculamos a sua dimensão na subunidade anterior.
Aqui estão os passos da sua construção.
Ok, o que eu vou fazer é arranjar uma expressão
do comprimento na iteração 0, no passo inicial.
E depois para o passo 1, passo 2, passo 3 e assim por diante
E veremos o que acontece.
Então, vou dizer que, vamos supor que este comprimento inicial é 1.
Para ser mais conveniente
vamos dizer que isto mede um metro ou algo desse género.
Portanto, eu vou preencher esta tabela aqui.
Este é o passo inicial.
Qual é o comprimento de cada segmento de reta?
Bem, só havia um segmento de reta.
E o comprimento dele é 1.
Portanto o comprimento total é 1.
Há um segmento de reta com comprimento 1, portanto o comprimento total é 1.
Ok, e o que acontece no primeiro passo?
Desta vez temos 4 segmentos de reta, 1, 2, 3, 4.
E cada segmento de reta é um terço do comprimento do segmento de reta inicial.
Assim, no passo 1, o tamanho de cada segmento de reta é um terço.
o número de segmentos de reta é 4,
E se temos quatro coisas, cada uma delas com comprimento de um terço,
O comprimento total é quatro terços.
Certo, então e no passo 2?
Bem, o processo repete-se.
Se eu olhar só para esta secção aqui,
Vou de um segmento de reta para 1, 2, 3, 4 segmentos de reta.
Mas a mesma situação repete-se aqui, aqui e aqui.
Portanto, agora temos 16, ...1,2,3,4,5,6,7,8 e por aí segmentos de reta.
Ok, portanto no passo 2 temos 16 segmentos de reta.
A propósito, 16 é igual a 4 ao quadrado.
Tenho 4 segmentos aqui.
E depois tenho 1, 2, 3, 4 formas destas, 4 vezes 4 dá 16.
Ok, sabemos que este comprimento é um terço.
Este comprimento no próximo passo será então, um terço de um terço.
Que dá um nono.
Ou seja um nono, que é um terço de um terço
que é também um terço ao quadrado.
Portanto, se eu tiver 16 coisas
Cada uma delas com comprimento de um nono.
E o comprimento total
é 16 a dividir por 9
que acontece ser igual a três quartos ao quadrado.
Ok, se calhar agora já dá para ver o padrão que se está aqui a formar.
Vamos fazer o passo 3 rapidamente.
Se eu só me focar nesta pequena parte aqui,
vou deste comprimento para este,
E tenho agora 4 vezes mais segmentos do que tinha antes
E a cada passo, o número de segmentos de reta
aumenta 4 vezes, é multiplicado por 4.
Ou seja, agora vou ter, este é o passo 3,
4 vezes 4 vezes 4, que é 4 ao cubo.
Em cada passo, o comprimento de cada segmento de reta diminuía 3 vezes.
Isto é um. Isto é um terço. Isto é um terço de um terço.
Isto é um terço de um terço de um terço,
que é um terço ao cubo.
Vamos ver então, isto é um terço ao cubo.
Portanto, se eu tiver 4 ao cubo coisas
cada uma delas com um comprimento igual a um terço ao cubo,
então o comprimento total
será quatro terços ao cubo.
É de notar que o comprimento está a aumentar.
E isso é bastante fácil de ver.
Isto tem comprimento 1, agora adicionei este desvio.
Está claro que este caminho com a dobra é mais longo que este.
Cada vez que adiciono uma dobra ao caminho, adiciono comprimento.
Portanto, o comprimento está a ficar cada vez maior.
Podemos generalizar isto e ver qual é o padrão.
No passo n, cada segmento de reta terá sido cortado num terço n vezes.
e a cada passo, o número de segmentos de reta é multiplicado por 4.
Assim, o comprimento total será quatro terços elevado a n.
Ok, agora a questão é o que acontece
quando n fica cada vez maior?
E podemos ver o que está a acontecer aqui.
Este número está a ficar cada vez maior.
Quatro terços multiplicado por ele mesmo uma e outra e outra vez...
Está a ficar cada vez maior.
Estamos a adicionar 33 por cento de cada vez.
Portanto, à medida que n aumenta,
o comprimento total também aumenta.
Portanto, tende para infinito.
Então aqui temos, um figura da curva de Koch.
Esta foi feita gerado por computador, até 16 passos acho eu.
A resolução não me permitia ir além disso. Não iríamos ver nenhuma diferença.
E à medida que continuamos este processo iterativo,
em cada passo adicionar uma dobra em cada linha,
o comprimento desta curva tende para infinito.
Então este curva aqui vai ter comprimento infinito.
Portanto, temos uma curva que é infinitamente longa,
Mas está contida numa área finita.
Eu posso desenhar um círculo à volta dela.
Aqui a área é finita, definitivamente.
Isto é apenas uma pequena forma oval no meu papel.
É aproximadamente do tamanho da minha mão.
No entanto, eu consigo meter uma destas curvas onduladas de Koch aqui dentro.
Que, como vimos, têm um comprimento infinito.
Portanto uma das características dos fractais é que
combinam propriedades finitas e infinitas de formas interessantes.
E na verdade, esta foi uma das motivações iniciais
Para este tipo de construções no início dos anos 1900.
Os matemáticos estavam a estudar Teoria de Conjuntos
e a tentar pensar em diferentes propriedades dos infinitos.
Portanto, de qualquer maneira, a curva de Koch tem um comprimento infinito.
mesmo que possamos facilmente encaixar esse comprimento infinito numa área finita.
Vamos pensar então, na dimensão da curva de Koch.
Lembremo-nos que descobrimos anteriormente que a sua dimensão é log4 sobre log3
que é aproximadamente 1.262
está assim entre 1 e 2 dimensões.
Uma maneira de pensar nisto é que
objetos que tenham este tipo de dimensões, entre 1 e 2
têm algumas propriedade unidimensionais
e algumas propriedades bidimensionais.
É unidimensional na medida em que é construída a partir de linhas.
Na nossa construção começámos apenas com uma linha
e acrescentámos uma saliência, uma dobra, adicionámos mais dobras,
acrescentámos saliências às saliências e assim por diante.
E obtivemos uma forma.
Portanto é unidimensional, de uma maneira,
ou tem propriedades unidimensionais
porque começou como uma linha.
Ainda é uma linha.
No entanto tem tantas saliências.
E a forma fica tão...irregular
tantos dentes dentes em dentes e mais dentes
tantas dobras, dobras e mais dobras
Que começa a elevar-se,
como se tivesse a ser empurrada para a segunda dimensão.
Não é totalmente bidimensional, como uma área.
Nem sequer ocupa espaço.
Mas a linha fica tão acidentada que
que começa a ter algumas propriedades bidimensionais.
Isto não é uma definição exata, de forma alguma.
Mas, de uma forma qualitativa, é uma maneira
de pensar em dimensões não inteiras.
Assim, algo que esteja entre uma e duas dimensões
é unidimensional de uma maneira, mas bidimensional de outra.
Portanto, outra coisa para pensar na curva de Koch é
como vimos numa área finita,
tem comprimento infinito.
E assim, isto seria bastante benéfico
se fosse parte de um pulmão ou algo do género
algum órgão ou estrutura que esteja a tentar trocar alguma coisa
e que, por isso, precisasse de ter uma superfície maior.
Talvez isto pudesse ser uma forma
que dissipa calor
poderia portanto ser algo físico,
não precisa de ser biológico.
Esta grande área superficial seria
ou seja, este grande perímetro, este comprimento
seria bastante benéfico.
Porque seria um grande comprimento para
o calor se poder dissipar,
ou trocar oxigénio, ou algo assim.
Logo, esta é outra propriedade interessante
deste tipo de fractais.
Portanto, como disse, combinam o finito e o infinito
e podem ter sérias ventagens estruturais
dependendo da sua aplicação.