Uradimo još jedan primer
Razmotrićemo još jedan fraktal i izračunaćemo njegovu samo-sličnu dimenziju.
Fraktal koji ćemo sada razmatrati je poznati fraktal
zvan Sierpienski trougao. Verovatno ste ga videli ranije
Ovo su koraci pri njegovoj konstrukciji
Počinjemo sa ispunjenim trouglom i onda iz njega izbacimo
srednji trougao, na ovaj način.
Ostaju nam ova tri trougla, 1,2,3,
Iz svakog od ovih izbacimo srednji trougao
sada imamo 9 trouglova i iz svakog od njih
izbacimo srednji trougao i tako dalje
I kako se ovo ponavlja, dobijamo fraktalni oblik
Evo ga ovo nastavljeno još par generacija
i to je fraktal zato što
vidimo da su ovi trouglovi u trouglovima
koji se ponavljaju na mnogo različitih nivoa slični sebi
OK, izračunajmo sada samo-sličnu dimenziju.
Broj malih kopija,
ako pogledamo ovu verziju vidimo 1, 2, 3 manje kopije
1, 2, 3. Dakle broj manjih kopija je 3.
Faktor uvećanja je 2.
Vidimo da ako uzmemo ovo moramo da ga
proširimo 2 puta ovde
i ovde, da bi manja kopija bila ista kao velika.
Možemo videti i da
u ovom trouglu ovde ova strana je pola ove,
osnovica je pola ovoga.
Pa moramo uvećati ili proširiti ovaj trougao 2 puta
da bi bio veliki kao puni trougao.
Dakle faktor uvećanja je 2 i dimenzija je D
Moramo rešiti po D
Opet ćemo koristiti logaritme da bismo to uradili
Jednačina je 3 jednako 2 na D-ti stepen
Uzmimo logaritam obe strane
Koristićemo stepeno svojstvo logaritma
I onda ćemo dobiti D tako što podelimo obe strane sa log2
I dobili smo odgovor.
Dimenzija Sierpinski trougla je log3 kroz log2.
I možemo dobiti približnu decimalnu vrdnost
digitronom.
3 log podeljeno sa 2 log je...
dobijemo da je D oko 1.585
I to je opet dimenzija koja nije ceo broj.
Dimenzija Sierpienski trougla je između 1 i 2.
Ovaj objekat ima dimenziju oko 1.585
Sledećih par kvizova će vam dati šansu da uvežbate
ovu ideju računanja samo-slične dimenzije.
Daću vam jos par fraktala i
vi ćete izračunati samo-sličnu dimenziju.
Napomenuću da, prema mom iskustvu, učenje ovoga
ponekad treba malo vremena
da se uoči ovaj faktor uvećanja u malim kopijama.
Toliko je geometrijsko i vizuelno da
je malo teže objasniti rečima
ali ako uradite malo primera
ući ćete u štos.
Pa isprobajte kvizove.
Ako ih odmah ne rešite, ne brinite.
Proćiću kroz njih u videoima nakon kviza.