Vamos fazer outro exemplo.
Vamos considerar outro fractal e calcular a sua dimensão de autossimilaridade.
O fractal que agora vamos considerar é bastante famoso.
E é conhecido como o Triângulo de Sierpinsky.
É possível que já tenham ouvido falar nele.
Aqui estão os passos da sua construção.
Começamos com um triângulo completo e depois removemos desse triângulo
o triângulo do meio, desta maneira.
E assim ficamos com três triângulo, 1, 2, 3
De cada um dos triângulos obtidos, removemos o triângulo do meio
Agora temos 9 triângulo, de cada um deles
removemos o triângulo do meio, e assim por diante.
E repetindo este método, obtemos uma forma fractal.
E aqui está o resultado depois de mais algumas iterações.
E é um fractal porque podemos ver
estes triângulos dentro de triângulos
dentro de outros triângulos repetem-se em várias escalas.
É autossimilar.
Ok, agora vamos então agora calcular a dimensão de autossimilaridade.
Portanto, número de cópias pequenas.
Se eu olhar para esta versão aqui, vejo 1, 2, 3, cópias pequenas
1, 2, 3. Então o número de cópias pequenas é três.
O fator de ampliação é dois.
Podemos ver que preciso de tirar isto
e esticá-lo por um fator de dois nesta direção
e de dois nesta direção, para fazer a cópia pequena do mesmo tamanho da cópia maior.
Acho que também podemos ver isto aqui
neste triângulo, este lado é metade daquele
a base é metade desta
Portanto, precisamos de ampliar ou esticar o triângulo por dois
de maneira a fazer com que fique do tamanho do triângulo todo
Então o fator de ampliação é dois, e a dimensão é D.
E precisamos de resolver em ordem a D
Logo, mais uma vez, vamos usar logaritmos para fazer isso e ver o resultado.
Portanto, a equação era três é igual a dois elevado a D.
Vamos fazer o logaritmos de ambos os termos.
Usamos a propriedade exponencial dos logaritmos.
E depois resolvemos para D, dividindo ambos os termos por log2.
Ok, aqui está a nossa resposta.
A dimensão do triângulo de Sierpinsky é log3 a dividir por log2.
E podemos obter um valor decimal aproximado do resultado
usando uma calculadora.
Assim, log3/log2 é igual a
E podemos ver que D é cerca de 1.585.
Desta maneira, outra vez, obtemos uma dimensão não-inteira.
A dimensão do triângulo de Sierpinsky está entre um e dois.
Logo, este objeto tem uma dimensão de cerca de 1.585.
Os próximos questionários dão a oportunidade de praticar
esta ideia de cacular a dimensão de autossimilaridade.
Eu darei exemplos de outros fractais
para poderem calcular a dimensão de autossimilaridade.
Devo mencionar que, na minha experiência de ensinar isto
Pode, por vezes, demorar um bocado
a ver este fator de ampliação em cópias pequenas.
É algo tão geométrico e visual
que me é um bocado complicado explicar por palavras.
Mas fazendo alguns exemplos
Eventualmente, ficará mais fácil de ver isso.
Portanto, tente fazer os questionários.
Se não os conseguir resolver logo, não há problema.
Eu vou resolver os exemplos no vídeo a seguir ao questionário.