دعونا نقوم بمثالٍ آخر.
سندرس كُسير مختلف ونحسب بُعد تشابهه ذاتياً.
الكُسير الذي سندرسه الآن هو كُسير مشهور
ومعروف بـ Sierpinski Triangle. على الأرجح أنّك رأيته سابقاً.
ها هي خطوات بنائه
عندما تبدأ بمثلث ثابت وثمّ تزيله من ذلك المثلث،
المثلث الأوسط كهذا،
عندما يترك أحدٌ ما هذه المثلثات الثلاثة ، 1،2،3،
يزيل المثلث الأوسط من كلٍّ من هؤلاء،
الآن تسعة مثلثات من كلٍّ من هؤلاء
تزيل المثلث الأوسط وهكذا.
وبينما يتكرر هذا، نحصل على شكل الكُسير.
إذاً هذا هو ما نحصل عليه إذا تابعنا لبضع أجيال إضافية
وإنّه كُسير لأنّنا
نرى هذه المثلثات داخل المثلثات
داخل المثلثات تتكرر بمقاييس مختلفة متعددة مشابهة ذاتياً
حسناً، إذاً الآن دعونا نحسب بُعد التشابه الذاتي.
إذاً، عدد النسخ الصغيرة،
أظن أنّي انظر إلى هذه النسخة منه وأرى 1، 2، 3 نسخ صغيرة.
واحد، اثنان، ثلاثة. إذاً عدد النسخ الصغيرة هو ثلاثة.
عامل التكبير هو 2.
يمكنك أن ترى أنّه يحتاجون ليأخذوا هذا
ويمددوه بعامل 2 بهذا الاتجاه
وبهذا الاتجاه لتصبح النسخ الصغيرة كبيرة كالنسخة الكبيرة.
أظن أنّه يمكنك أن ترى أيضاً أنّ
هنا، هذا المثلث، هذه الضلع هي نصف تلك،
القاعدة نصف تلك.
إذاً نحتاج أن نكبّر أو نمدد هذا المثلث باثنان
لكي نحصل عليه كبير كالمثلث الممتلئ.
إذاً عامل التكبير هو 2 والبُعد هو D
نحتاج أن نحل المعادلة لنحسب D
إذاً مجدداً سنستخدم اللوغاريتمات لفعل ذلك ودعونا نرى على ماذا نحصل.
إذاً لقد كانت المعادلة 3 تساوي 2 لـ D.
سنأخذ لوغاريتم الطرفين.
نستخدم خاصية الأس للوغاريتم.
وثمّ نحسب قيمة D من خلال تقسيم الطرفين على لوغاريتم 2.
إذاً ها هي الإجابة.
بُعد مثلث Sierpinski هو لوغاريتم 3 على لوغاريتم 2.
ويمكننا أن نحصل على قيمة عشرية تقريبية
لذلك من الآلة الحاسبة.
إذاً 3 لوغاريتم مقسمة على 2 لوغاريتم يساوي
وأعرف أنّ D هي حوالي 1.585
إذاً مجدداً إنّنا نرى البُعد عدد غير صحيح.
بُعد مثلث Sierpienski هو بين 1 و 2.
إذاً هذا الشيء لديه بُعد حوالي 1.585
الإختبارات القصيرة التالية ستعطيك فرصة للتمرن
على فكرة حساب بُعد التشابه الذاتي.
إذاً سأعطيك القليل من الكُسيريات الأخرى
وستحسب بُعد التشابه الذاتي.
يجب أن أذكر أنّه من خلال خبرتي بالتدريس
يمكن أن يأخذ هذا القليل من الوقت
لترى عامل التكبير في النسخ الصغيرة.
إنّه هندسيٌّ جداً ومرئي أنّني
أجد شرحه بالكلمات صعباً قليلاً
لكن إذا قمت بعدّة أمثلة
ستبدأ في النهاية أن تراه.
إذاً حاول أن تجرب الاختبارات القصيرة.
إن لم تعرف حلهم على الحال، لا تقلق.
سأتحدث عنهم في الفيديوهات بعد الاختبار القصير.