Neste vídeo, iremos introduzir um fractal matemático
conhecido, por vezes, como o fractal "snowflake"
e a seguir iremos calcular a sua dimensão
Portanto, o fractal "snowflake" como muitos outros fractais,
são construídos através de um processo iterativo
Vamos começar com um único ponto.
E em cada passo, vou agarrar na forma que tenho
fazer 4 cópias dela e colocá-las nos cantos.
Então, aqui está a fase inicial
E depois, na próxima fase
Vou fazer 4 cópias do ponto original e colocá-las aqui 1, 2, 3, 4
Ok, este é o primeiro passo. Agora vou iterar este passo.
No próximo passo vou agarrar nesta forma, em todos os cinco pontos
Fazer 4 cópias e colocá-las aqui 1, 2, 3, 4
Então, vamos fazer isso. Aqui está a primeira cópia.
Aqui a cópia 2, cópia 3 e a cópia 4
E portanto, na próxima fase, no próximo passo eu ia agarrar nesta forma
existem, vamos ver... 25 pontos aqui
E ia fazer 4 cópias e colocar uma aqui,
outra aqui, uma aqui em baixo e outra aqui em baixo
E continuava a fazer isso, continuava a fazer isso...
E íamos obter um fractal.
Se continuarmos este processo por mais alguns passos
O resultado será uma forma que se parece com isto.
E podemos ver que isto é um fractal. É um objeto autossimilar.
É esta cruz em forma de x, que é feita de a partir de outra cruzes x
que são feitas a partir de x, que são feitas a partir de x e por aí adiante
Assim podemos ver que esta mesma forma em x ou cruz, aparece
uma e outra vez em escalas diferentes, por isso é um fractal
A propósito, devo dizer que, apesar de eu me referir a este fractal como "snowflake" (floco de neve)
Apenas se parece um bocado com um floco de neve. Porque os flocos de neve têm 6 pontas, não 4.
Mas de qualquer maneira lembra-me um floco de neve, por isso é que eu o chamo de "snowflake".
Penso que não existe um nome cem por cento padrão
Mas, de qualquer forma, queremos saber a dimensão disto
E faremos como fizemos para o exemplo do triângulo e outros antes desse
Olhar para cópias pequenas e para a cópia maior e por aí
Portanto, para fazer isso iremos usar, mais uma vez, a equação da dimensão
O número de cópias pequenas num objeto,
É o fator de ampliação ou fator de alongamento
elevado à potência D, onde D é a dimensão
E aqui está outra maneira de vermos o processo de criação deste fractal.
Começamos no passo 0 com um único quadrado, eu desenhei-o como um ponto, originalmente.
E depois vamos para aqui e depois este é o passo 2 e este o passo 3.
Então vamos ver, número de cópias pequenas vamos ver esta figura
Número de cópias pequenas, eu vejo 1, 2, 3, 4, 5
Logo, o número de cópias pequenas é 5.
Qual é o fator de alongamento ou ampliação? Bem, vimos que era 3.
E portanto para vermos isso, imaginemos esta forma, quanto é a temos de esticar para ficar deste tamanho?
Bem, podemos ver que este comprimento é constituído por 1, 2, 3 destes.
Portanto, o fator de alongamento é 3. Este é um terço do comprimento deste grande.
Assim, o fator de magnificação é 3. E isso é elevado a D.
Agora a questão é: Qual é a dimensão D?
Vamos ver, poderá a dimensão ser 1?
Vamos tentar, vou substituir, 3 elevado a 1 é 3. Não é 5.
Poderá a dimensão ser 2?
Vamos ver, substituindo, 3 ao quadrado é 3 vezes 3 que é 9. É demasiado grande.
Portanto, este objeto não tem dimensão 1 mas também não tem dimensão 2.
Acontece que a dimensão está entre 1 e 2.
E então, de modo a resolver equação em ordem a D,
lembremo-nos que D é a dimensão que queremos calcular
Vamos ter que usar logaritmos.
Sim, logaritmos. Portanto, talvez seja uma boa altura para vos lembrar
que existe uma secção opcional nesta unidade
que revê exponenciais e logaritmos
Não há muita álgebra neste curso
mas exponenciais e logaritmos vão aparecer muito
E já podem ver porquê
A dimensão, esta importante maneira de caracterizar fractais, é como vimos, um expoente.
Logo vamos precisar de perceber de expoentes
e logaritmos são usados para resolver equações
Quando a variável a calcular está em cima como expoente
Portanto, os expoentes e logaritmos vão andar de um lado para o outro
Por isso, é preciso ser algo rápido com propriedades básicas de exponenciais e logaritmos.
Não é nada demais. E eu revejo isso nessa secção opcional.
Assim, se tiver dúvidas acerca de logaritmos, ou o que se seguir não fizer sentido
É só ver a secção opcional e correrá tudo bem.
Também pode pedir ajuda no fórum, a qualquer momento
Se tiver alguma dúvida,
Ok, de volta ao fractal.
Esta é a situação, temos esta equação 5 igual a 3 elevado a D, e queremos resolver em ordem a D.
Para tal, vamos fazer o logaritmo de ambos os lados da equação
Portanto log(5) é igual a log(3^D)
Assim, pela propriedade logarítmica dos expoentes log(3^D) é igual a Dlog(3)
Portanto, log(5) é igual a Dlog(3)
E agora, o última passo é resolver em ordem a D.
Para isso, basta dividir ambos os lados da equação por log(3) e o resultado dá isto.
log(5) a dividir log(3) é igual a D.
Portanto, é essa a minha resposta.
Isto é uma expressão exata para a dimensão D.
E podemos calcular o valor usando uma calculadora.
Vamos ver, tenho log(5) a dividir por log(3)
Ora aqui está a minha fiel calculadora.
E vou fazer logaritmo de 5 a dividir por logaritmo de 3
E vou obter aproximadamente 1.465
Logo, isto diz-me que D é aproximadamente 1.465
Portanto, descobrimos que a dimensão desta forma não é um inteiro.
É um número entre 1 e 2
O que é um bocado estranho.
Não estamos habituados a dimensões não inteiras.
E vamos falar bastante disto mais à frente nesta unidade
e ao longo do curso, sobre qual o significado disto.
Mas por agora, vamos avançar
e continuar a trabalhar com a equação base para a dimensão de autossimilaridade.
No próximo vídeo, vou mostrar outro exemplo
de como calcular a dimensão de autossimilaridade D de um fractal.
E depois disso, vamos poder praticar isto em alguns quizzes.