U ovom pododeljku naučićemo
kako da izračunamo dimenziju određenih matematičkih fraktala
Za početak, razmatraćemo veoma jednostavne oblike
duži, kvadrate i kocke
I razmatrajući ove oblike
videćemo kako da generalizujemo našu intuitivnu ideju o dimenziji
da bismo mogli da je primenimo na interesantne i važne načine na fraktale
Naša početna tačka za priču o dimenziji
je da razmatramo koliko manjih kopija
nekog oblika staju unutar veće kopije
I ja ću ovde napraviti tabelu koju ćemo popuniti
i imaćemo tri jednostavna primera
Počećemo sa jednom duži
Pretpostavimo da imamo duž
I onda pretpostavimo da imamo duž
koja je tri puta duža 1, 2, 3
I ako pitamo koliko manjih duži
staju u ovu veću
koja je proširena tri puta, i odgovor je 3
1, 2, 3 manje duži
unutar ove veće duži.
Dakle za oblik duži,
faktor uvećanja je 3,
broj manjih kopija u većoj kopiji je 3.
I kada kažem faktor uvećanja, znači
da moram uzeti manju kopiju
uvećanu 3 puta,
proširenu 3 puta po ovoj dimenziji
da bi ona bila iste veličine
kao ovaj veći oblik, veća duž
OK, toliko o dužima.
Sada ćemo razmatrati kvadrat.
Ovde imamo mali kvadrat.
Zamislimo da je ovo kvadrat
čija je dužina stranice 1
I onda ako bismo imali kvadrat
koji ima stranicu 3.
Mozemo se zapitati koliko manjih kvadrata staje unutar ovog
I ako ih nacrtam ovako
vidimo da imamo 1,2,3,4,5,6,7,8,9
9 malih kvadrata koji staju u veći
Ovaj ručni crtež nije savršeno idealan
posto je ova veličina ista,
ovaj kvadrat je isti kao ovaj.
Dakle imamo 3 puta 3
jednako 9 malih kvadrata u ovom velikom kvadratu.
I veliki kvadrat je uvećan za faktor 3
Proširen je 3 puta u ovom pravcu
3 u tom pravcu
I onda ako se vratimo u tabelu
Oblik kvadrata
Faktor uvećanja 3
Broj manjih kopija unutar veće kopije je 9.
Razmotrimo još jedan oblik
Kocku
Ovde imamo jednu malu kocku
I kocka ima stranicu dužine 1
I sada ako imamo kocku
koja je 3 puta veća
To je sada malo teže nacrtati
OK, koliko manjih kocka
može da stane unutar ove kocke?
Nacrtajmo par linija,
koje će možda pojasniti stvari.
OK, nije savršen crtež
ali nadam se da ilustruje poentu
Koliko malih kocki staje
u ovu veliku kocku.
Imamo ovaj nivo na vrhu 1,2,3,4,5,6,7,8,9
i onda još jedan nivo
sa još 9.
i još 9 u donjem nivou.
Dakle 9 plus 9 plus 9 je 27
Dakle ima 27 manjih kocki u ovoj velikoj kocki
A faktor uvećanja je opet 3
Da bismo došli od ove male kocke
ili ove male kocke do ove velike
moramo uvećati celu figuru 3 puta
Što znaci da je 3 puta duga,
3 puta duboka i 3 puta visoka.
Sada možemo popuniti tabelu
Naš poslednji oblik je kocka
Faktor uvećanja je 3 i
broj manjih kopija u većoj je 27
Pa da vidimo
šta možemo naučiti iz ove tabele
Pitanje je koje geometrijsko svojstvo
ili osobine ovih oblika odlučuju
šta se dešava ovde
koje odlučuju koliko manjih oblika
staje u veću kopiju.
Jer faktor uvećanja
za sve ove je isti.
Zato je odgovor na ovo pitanje
da je u pitanju dimenzija.
Duži, kvardati i kocke
imaju različitu dimenziju
i zato su brojevi koji se pojavljuju ovde različiti.
Napišimo relaciju
između ovog i ovog koristeći dimenziju.
Ovo je jednačina koja povezuje
faktor uvećanja i broj manjih kopija
u većoj kopiji neke figure.
Jednačina je da je
broj manjih kopija jednak
faktoru uvećanja na D-ti stepen.
I D u ovoj jednačino
je samoslična dimenzija.
Za sada ćemo to kraće zvati samo dimenzija
Pošto još uvek nismo razmatrali
druge vrste dimenzija.
Hajde da razmislimo o ovome.
Šta je ovo? Šta nam govori?
Počnimo prvo sa kvadratom.
Kvadrat ima faktor uvećanja 3
i broj manjih kopija
u velikoj kopiji je 9.
Koliko je onda D?
Vratimo se ovde.
Broj manjih kopija je 9
a faktor uvećanja je 3.
I pitamo se, OK, šta je dimenzija?
Pa, D bi moralo da bude 2.
Jer 9 je 3 na kvadrat.
Dakle rećićemo da kvadrat ima dimenziju 2.
I to ima smisla.
To je konzistentno sa našom intuitivnom idejom o tome šta je dimenzija
Kvadrat je proširen u 1 i 2 pravca.
Pa kažemo da je kvadrat dvodimenzionalan.
Možemo uraditi slično sa kockom,
prvo sa kockom.
Faktor uvećanja je
rekli smo da je broj manjih kopija 27.
i to će biti faktor uvećanja na
D-ti stepen.
I vidimo da je u uvom slučaju D=3.
Dakle kocka je trodimenzionalna.
I to je konzistentno sa našom intuicijom o dimenziji.
1,2,3 pravca za kocku
pa lažemo da je 3-dimenzionalna.
I možemo uraditi isto za duž.
Ova jednačina je malo dosadna.
Broj manjih kopija je 3.
I faktor uvećanja je 3.
I šta je eksponent?
3 na 1.
Podsetimo se da je broj dignut na stepen 1
opet taj broj.
Na primer, x na 1 je x.
Pa imamo da je dimenzija duži 1.
Ako se vratimo na ovu sliku.
Ovo je ključna jednačina za ovaj odeljak.
Faktor uvećanja na D-ti stepen je
broj manjih kopija, i D je dimenzija.
Ovo je možda neobičan način
da definišemo dimenziju.
Ali nam govori da su
Duži jednodimenzionalne,
kvadrati dvodimenzionalni,
i kocke trodimenzionalne, kao što i očekujemo.
U sledećem videu ćemo gledati da primenimo
ovu definiciju dimenzije na fraktal.
Ali pre toga predlažem da uradimo
kratak kviz da uvežbamo ovu formulu
da bismo se uverili da funkcioniše.