Nesta subunidade, iremos aprender
a calcular a dimensão de certos fractais matemáticos.
Para começar, iremos considerar formas bastantes simples.
Segmentos de reta, quadrados e cubos.
E ao considerar estas formas,
iremos ver como generalizar a nossa ideia intuitiva de dimensão.
Para a podermos aplicar a fractais de maneiras interessantes e importantes.
Então, o nosso ponto de partida para pensar em dimensão
é pensar no número de cópias pequenas
de uma forma que cabem dentro de uma cópia grande.
Portanto vamos fazer uma tabela
e preenchê-la com três exemplos simples.
Comecemos por pensar num segmento de reta,
Suponhamos que eu tenho um segmento de reta como este.
E agora, suponhamos que eu tenho
outro segmento de reta que tem o triplo do comprimento 1, 2, 3
Se eu perguntasse, quantos dos segmentos de reta pequenos
Cabem dentro deste segmento de reta
Que está esticado 3 vezes, a resposta será 3.
1, 2, 3, segmentos de reta pequenos
dentro deste segmento de reta maior.
Portanto, para a forma de uma linha,
Fator de ampliação de 3
o número de cópias pequenas numa cópia grande é 3.
E portanto, o que eu quero dizer com fator de ampliação aqui
é que eu preciso de agarrar numa cópia pequena
e ampliá-la 3 vezes,
esticá-la 3 vezes nesta direção.
De modo a que fique do mesmo tamanho
da forma grande, deste segmento de reta maior.
Ok, chega de segmentos de reta.
Agora, vamos pensar num quadrado.
Portanto, aqui está um quadrado pequeno.
Imaginemos que é um quadrado
de lado 1, por exemplo.
E agora, suponhamos que eu tinha um quadrado
com comprimento 3 de lado.
Posso perguntar, quantos destes quadrados mais pequenos cabem aqui.
E se eu desenhá-lo desta maneira.
Podemos ver que 1,2,3,4,5,6,7,8,9
9 quadrados pequenos cabem dentro do quadrado grande.
Este desenho não está perfeito
A ideia é que este tamanho
este quadrado é do mesmo tamanho que este.
Portanto, há 3 vezes 3
igual a 9 quadrados pequenos neste quadrado grande.
E o quadrado maior está ampliado por um fator de 3.
Está esticado 3 vezes nesta direção,
3 vezes naquela direção.
Então, voltando à minha tabela.
A forma de um quadrado,
Fator de ampliação de 3,
Número de cópias pequenas na cópia grande é 9.
Certo, vamos pensar em mais uma forma.
Cubo
Aqui está um pequeno cubo
E o cubo tem 1 de lado.
E agora, suponhamos que temos um cubo
que é 3 vezes maior.
É um bocado desafiante de desenhar para mim.
Ok, portanto, quantos deste cubos pequenos
cabem dentro deste cubo grande?
Vamos desenhar algumas linhas,
que talvez tornem o problema mais claro.
Ok, não é um desenho perfeito.
Mas espero que esclareça o conceito.
Então, vamos pensar em quantos cubos pequenos
estão neste cubo grande.
Bem, neste camada de cima estão 1,2,3,4,5,6,7,8,9
E depois temos outra camada
ou fatia aqui, outros 9.
E outros 9 cubos aqui nesta camada de baixo.
9 mais 9 mais 9, dá 27
Portanto existem 27 cubos pequenos neste cubo maior.
E, mais uma vez, o fator de ampliação é 3.
Para ir deste cubo pequeno ou
deste cubo pequeno aqui para o grande.
Preciso de ampliar a forma inteira por 3.
Ou seja, é 3 vezes mais longa,
3 vezes mais profunda e 3 vezes mais alta.
Assim, posso completar esta tabela agora.
A última forma era um cubo.
O fator de ampliação é 3.
e o número de cópias pequenas dentro da cópia maior é 27.
Então, vamos ver
o que podemos retirar desta tabela.
A questão é: qual é a propriedade geométrica
ou atributo destas formas que determina
o que escrevemos nesta coluna.
Determina quantas cópias pequenas
cabem na cópia grande.
Porque o fator de ampliação
para todas estas formas é o mesmo.
Logo, a resposta a esta pergunta é
que é a dimensão.
Linhas, quadrados e cubos
têm dimensões diferentes
e assim, os números que aparecem deste lado são diferentes.
Então, vamos escrever a relação
entre isto e isto usando a dimensão.
Aqui está uma equação que relaciona
o fator de ampliação com o número de cópias pequenas
dentro da cópia maior de uma forma.
Portanto, a equação é que
o número de cópias pequenas é igual
ao fator de ampliação, elevado a D.
E D, nesta equação
é a dimensão de autossimilaridade.
E eu vou só chamar-lhe de dimensão, por agora.
Já que não há outro tipo de dimensão
em que temos de pensar aqui.
Então, vamos pensar nisto.
O que é isto? O que é que isto nos diz?
Vamos lá, vamos pensar no quadrado primeiro.
Portanto, o quadrado tem um fator de ampliação de 3
E o número de cópias pequenas
na cópia grande é 9.
E assim, qual seria o valor de D?
Vamos voltar aqui atrás.
Então, o número de cópias pequenas é 9.
E o fator de ampliação é 3.
Assim perguntamos: qual é a dimensão?
Bem, D teria de ser 2.
Porque 9 é 3 ao quadrado.
Portanto dizemos que o quadrado tem uma dimensão de 2.
E isso faz sentido.
É consistente com a nossa ideia intuitiva de dimensão.
Um quadrado foi estendido em 1 e 2 direções.
Então, pensamos num quadrado como bidimensional.
Podemos fazer algo semelhante com o cubo.
Vamos fazer o cubo primeiro.
Então, o fator de ampliação
Ou melhor, o número de cópias pequenas vimos que era 27.
E isso será o fator de ampliação
elevado à dimensão D.
E assim vemos que neste caso,
D is 3. Portanto o cubo é tridimensional.
E isso é consistente com a nossa noção de dimensão.
1,2,3 direções para um cubo.
Portanto, diríamos que é tridimensional.
E podemos fazer o mesmo com uma linha.
Neste caso a equação é um bocado entediante.
Número de cópias pequenas no segmento de reta é 3.
E o fator de ampliação é 3.
Então, qual é o expoente?
Bem, é 3 elevado a 1.
Lembremo-nos que um número elevado à primeira potência
é simplesmente esse número.
Certo, portanto x elevado a 1 é apenas x, por exemplo.
Então, isto diz-nos que a dimensão de uma linha é 1.
Voltando a esta figura.
Esta é a equação chave para esta unidade.
Fator de ampliação elevado a D é o número
de cópias pequenas e D é a dimensão.
Isto é, talvez, uma maneira pouco usual
de pensar na dimensão.
Mas diz-nos que
Linhas são unidimensionais.
Quadrados são bidimensionais.
E que cubos são tridimensionais, como era de esperar.
Portanto, no próximo vídeo, vamos aplicar
esta ideia de dimensão a um fractal.
Mas antes de fazermos isso, eu sugiro fazer
um pequeno quiz apenas para praticar esta fórmula
Para terem a certeza de que percebem como funciona.