سوف نتعلم في هذه الوحدة الفرعية
كيف نحسب بُعد كُسيريات رياضية معينة.
لنبدأ، ندرس أشكال بسيطة جداً
قطع مستقيمة، ومربعات ومكعبات.
وبدراسة هذه الأشكال
سنرى كيف نعمّم فكرتنا البديهية للبُعد.
إذاً يمكن أن تُطبق بعض الطرق الهامة والمثيرة للاهتمام للكُسيريات.
إذاً نقطة البداية خاصتنا للتفكير بالبُعد
هي أن نفكر بكم نسخة صغيرة
للأشكال تتناسب داخل نسخة كبيرة.
وسوف أقوم بصنع جدول هنا وسأملأه
وسوف نقوم بثلاثة أمثلة بسيطة.
نبدأ من خلال التفكير بقطعة مستقيمة،
إذاً افترض أنّ لدي قطعة مستقيمة كهذه
ثمّ افترض أنّ لدي قطعة مستقيمة
والتي هي أطول بثلاث مرات 1،2،3
ولقد سألت كم عدد القطع المستقيمة الصغيرة
تتناسب داخل هذه القطعة المستقيمة
التي تمتد خلال 3 والإجابة هي 3.
1،2،3 قطع مستقيمة صغيرة
داخل هذه القطعة المستقيمة الكبيرة.
إذاً لشكل الخط،
عامل التكبير هو 3،
عدد النسخ الصغيرة في نسخة كبيرة هو 3.
وإذاً ما أعنيه بعامل التكبير هنا
هو أنّي أحتاج أن آخذ نسخة صغيرة
وأكبّرها 3 مرات،
أمددها 3 مرات في هذا الاتجاه.
لكي أحصل عليها بنفس قياس
الشكل الكبير، هذه القطعة المستقيمة الكبيرة.
حسناً، لقد تحدثنا كثيراً عن القطعة المستقيمة.
الآن، دعونا نفكر بالمربع.
إذاً ها هنا مربع صغير.
تخيّل أنّ هذا المربع
بضلع 1 مثلاً.
وبعدئذٍ ماذا إن كان لدي مربع
بطول ضلع 3.
أستطيع أن أساًل كم من المربعات الصغيرة تستطيع أن تتسع هنا.
وإذا رسمته هكذا.
نستطيع أن نرى أنّ 1,2,3,4,5,6,7,8,9
9 مربعات صغيرة تتسع داخل المربع الكبير.
هذا الرسم اليدوي ليس مثالياً تماماً
عند هذا الحجم،
هذا المربع هو نفس حجم ذلك المربع.
إذاً هناك 3 في 3
تساوي 9 مربعات صغيرة في هذا المربع الكبير.
والمربع الكبير مُكبّر بواسطة عامل الـ 3.
حسناً، إنّه ممدد بـ 3 في هذا الاتجاه،
3 في ذاك الاتجاه.
إذاً بالعودة إلى جدولي
عامل التكبير
لشكل المربع هو 3
عدد النسخ الصغيرة في النسخة الكبيرة هو 9.
دعونا نفكر بشكل إضافي آخر.
المكعب.
إذاً ها هنا مكعب صغير
ومكعب لديه ضلع بطول 1.
والآن افترض أنّنا لدينا مكعب
أكبر بثلاث مرات.
إذاً إنّه تحدي بالنسبة لي لأرسمه.
حسناً، إذاً كم من هذه النسخ الصغيرة
تتسع داخل هذا المكعب؟
دعوني أرسم بعض الخطوط،
قد يجعله ذلك أوضح قليلاً.
حسناً، ليس رسماً مثالياً
لكن آمل أنّ يوضح المقصد.
إذاً دعونا نفكر بكم عدد النسخ الصغيرة
الموجودة في المكعب الكبير.
حسناً، في الطبقة العلوية هناك 1,2,3,4,5,6,7,8,9
وثم هناك طبقة أخرى
أو شريحة هنا ،9 أخرى.
و9 أخرى هنا على الشريحة السفلية هذه.
إذاً 9 زائد 9 زائد 9 يعطيني 27
إذاً هناك 27 مكعب صغير في المكعب الأكر.
وعامل التكبير مجدداً هو 3
لأذهب من المكعب الصغير هنا
هذا المكعب الصغير هنا للمكعب الكير.
أحتاج أن أكبّر كامل الشكل بواسطة 3.
مما يعني أنّ 3 في طوله،
3 في عمقه و 3 في ارتفاعه.
إذاً أستطيع أن أكمل هذا الجدول الآن.
إذاً الشكل الأخير كان مكعباً.
عامل التكبير هو 3،
وعدد النسخ الصغيرة في النسخة الكبيرة هو 27.
إذاً دعونا نرى
ماذا يمكننا أن نتعلم من هذا الجدول.
السؤال هو ما هي الخاصية الهندسية
أو ميزات هذه الأشكال تحدد
ماذا يجري هنا.
تحدد كم عدد النسخ الصغيرة
تدخل في النسخة الكبيرة.
لأنّ عامل التكبير
لكل هؤلاء هو نفسه.
إذاً الإجابة لهذا السؤال
هو أنّه البُعد.
خطوط، ومربعات ومكعبات
لديها أبعاد مختلفة
إذن الأعداد التي تظهر هنا مختلفة.
حسناً دعوني أكتب العلاقة
بين هذا وهذا باستخدام البُعد.
إذاً هنا معادلة تربط
عامل التكبير لعدد النسخ الصغيرة
في النسخة الكبيرة للشكل.
إذاً المعادلة هي أنّ
عدد النسخ الصغيرة يساوي
عامل التكبير مرفوع لقوة D.
و D في هذه المعادلة
هي بُعد التشابه الذاتي.
وسأدعوه الآن بالبُعد فقط للاختصار.
بما أنّه لا يوجد هناك بُعدٌ آخر
بالأنحاء لأفكر به.
إذاً دعونا نفكر بهذا.
ما هذا؟ ماذا يخبرنا؟
إذاً دعونا نذهب إلى، دعونا نبدأ بمربع أولاً.
إذاً مربع لديه عامل تكبير من 3
وعدد النسخ الصغيرة
في النسخة الكبيرة هو 9.
وإذاً، عندئذٍ ماذا ستكون D؟
دعونا نعود لهنا.
إذاً عدد النسخ الصغيرة هو 9
وعامل التكبير هو 3.
إذاً نتساءل، حسناً، ما هو البُعد؟
حسناً، سيجب على D أن تكون 2.
لأنّ 9 هي 3 مربّعة.
إذاً سنقول أنّ المربع لديه بُعد من 2.
وهذا يبدو منطقياً.
وهذا يتسق مع فكرتنا البديهية للبُعد.
لقد تمدد المربع في اتجاهين.
إذاً إنّنا نفكر أنّ المربع ثنائي البعد.
يمكننا أن نقوم بأشياء مشابهة مع مكعب،
للمكعب أولاً.
إذاً عامل التكبير
إذاً عدد النسخ الصغيرة التي قررنا أنّها 27.
وذلك سيكون عامل التكبير
للبُعد D.
وإذاً إننا نرى في هذه الحالة.
إذاً D هي 3. إذاً المكعب هو ثلاثي الأبعاد.
وهذا يتسق مع مفهومنا للبُعد
1،2،3 اتجاهات لمكعب.
إذاً سنقول أنّه ثلاثي البُعد.
ويمكننا أن نقوم بنفس الشيء مع خط.
هذه المعادلة مملة بعض الشيء.
عدد النسخ الصغيرة في القطعة المستقيمة هو 3.
وعامل التكبير هو 3.
إذاً ما هو الأس؟
حسناً 3 لـ 1.
تذكر أنّ عدد مرفوع للقوة الأولى
هو فقط ذلك العدد.
حسناً، إذاً، x لـ 1 هي فقط x مثلاً.
إذاً يقول هذا أنّ بُعد خط هو 1.
إذاً بالعودة إلى هذه الصورة.
هذا هو المفتاح لهذه الوحدة.
عامل التكبير لـ D هو عدد
النسخ الصغيرة و D هي البُعد.
قد تكون هذه طريقة غير عادية
للتفكير بالبُعد.
لكنها تخبرنا أنّ
الخطوط هي أحادية البعد.
المربعات هي ثنائية البعد.
والمكعبات هي ثلاثية البُعد كما نتوقع.
إذاً في الفيديو التالي سننظر إلى تطبيق
فكرة الأبعاد هذه للكُسيريات.
لكن قبل أن نقوم بذلك سأقترح القيام
باختبار قصير سريع فقط للتمرن على هذه المعادلة
لأتأكد من أنّك ترى كيف يعمل ذلك.