En este vídeo, quiero extraer y resaltar algunas de las claves y logros del estudio de los sistemas dinámicos, algunas de las cosas que considero más importantes e interesantes. Y debo decir que no creo que haya una sola lección o grupo de lecciones que provengan de los sistemas dinámicos, y en particular, creo que la importancia de los sistemas dinámicos en la comprensión que viene de ellos será diferente en diferentes campos. Así que, ciertamente, lo que es importante para un matemático puede ser diferente de lo que es importante para un biólogo o un economista. Y también tengo que decir que no hay un acuerdo universal acerca de qué cosas son las importantes. Por tanto, uno de los objetivos de este curso es daros una base matemática en fenómenos básicos como el caos, atractores extaños y aspectos relacionados. Para que os podáis formar vuestra propia opinón sobre todo ello. Sin embargo, espero que todo éstos pensamientos o comentrios sean interesantes y al menos os den en qué pensar. Así que, veamos. Una de las cosas que considero más importantes en el estudio de los sistemas dinámicos es la comprensión de que sistemas dinámico simples, como la ecuación logística, o la ecuación de Rossler, no poseen, o no poseen necesariamente propiedades dinámicas simples. Y otra forma en la que me gustaría pensar sobre ésto es que puede haber una diferencia entre la naturaleza de un proceso y la naturaleza del producto. Así, por ejemplo, la ecuación logística es una ecuación determinista, es una regla simple iterativa, tan aburrida como parece, pero la simple ecuación determinista produce comportamiento aperiódico y aleatorio o aparentemente aleatorio. Así que, hay una distinción entre la naturaleza, las características, del proceso generador, en este caso, una simple ecuación determinista, y su resultado, que en este caso es una secuencia aperiódica, aleatoria en esencia. Así que ésto tiene también implicaciones importantes, algunas de las que hemos hablado en la unidad 3, por ejemplo, si veis un proceso que se comporta aparentemente de forma aleatoria, con flucturaciones amplias, o algo de este tipo, podríais pensar: Tiene que haber algo, un proceso externo; no sigue una regla simple; se mueve al azar. Y podría ser el caso. Pero también podría ser el caso de que haya una dinámica simple, intrínseca, que está produciendo esta aparentemente conducta aleatoria. Podéis tener un sistema ligado a una regla y descrito en simples términos, pero que se comporta en formas que parecen lo contrario a ésto. Otro ejemplo en el que podemos tener un comportamiento que parece opuesto al del que lo produce es el estudio de bifurcaciones. Así, cuando vimos la ecuación logística en la cosecha, vimos que hay una población estable y, conforme aumentáis la cosecha, la población estable disminuye, pero hay un punto crítico, una tasa crítica de cosecha, y si aumentáis sólo un poco por encima de esa tasa de cosecha, la población estable no desciende despacio hacia cero, sino que simplemente desaparece. Así que hay un cambio súbito, discontinuo. La propia ecuación diferencial es perfectamente continua, pero el comportamiento en el punto de equilibrio, en el punto fijo, puede ser discontinuo. Así que, si veis algo, un sistema que tiene un cambio brusco, y tenéis una población estable de un centenar, y un poco después la población desaparece, podríais, lógicamente, esperar una influencia externa, y parece requerirse una influencia externa para mover esta población de 100 a 0 bruscamente. Y realmente podría ser así, pero los sistemas dinámicos también nos muestran que podría haber una causa intrínseca para ello, interno a la dinámica del sistema, y en particular podría ocurrir que pequeños cambios en los parámetros lleven a grandes cambios en el valor de equilibrio de la población. Así pues, un sistema continuo, la ecuación diferencial, puede tener discontinuidades incluidas en él. De nuevo, el proceso que genera el fenómeno es de alguna forma opuesto en carácter del proceso que es generado. Otro ejemplo de este fenómeno que estoy intentando describir es el patrón de formación del que hablemos justo en la última unidad. Podéis tener una sistema dinámico simple, extendido espacialmente en un sentido, pero algo que es local, en el que cada punto, el valor futuro de cada punto, es una función sólamente de lo que ocurre en este punto, e incluso podéis añadir difusión, esa fuerza, por decirlo así, que tiende a esparcirlo todo. Y en presencia de todo ésto, reglas de difusión local, con algunos términos reactivos también, uno se puede encontrar estructuras espaciales estables. Por tanto, estos patrones parecen no venir de ningún sitio, de condiciones iniciales casi perfectamente homogéneas, que la difusión no es capaz de suavizar, pero que de hecho puede hacer emerger estos patrones. Así que, cuando uno ve surgir un patrón en física o en biología o química o economía puede ocurrir que alguien lo hizo, alguien lo diseñó, como alguien haría el plano de una casa, o puede ser que símplemente éso es lo que hace el sistema, sin diseñador ni instrucciones desde arriba; se autoorganiza. Cierto tipo de patrones puede formarse espontáneamente. Así que, de nuevo, vemos un ejemplo donde fenomenos generadores de procesos, en este caso, una regla local determinista, es de alguna manera opuesto al resultado, como un patrón global estable. Así, creo que una de las claves, de las ideas claves, en los sistemas dinámicos, es la separación entre los resultados de los procesos, qué apariencia tiene el resultado, sus características, y el proceso que los genera. Y creo que ésto es descubrimiento importante para toda la ciencia en general, y para el estudio de los sistemas complejos en particular. Otro descubrimiento importante que viene del estudio de los sistemas dinámicos, es la idea de que el orden y el desorden no son necesariamente opuestos. De que se entremezclan y coexisten en montones de formas interesantes. Una forma, de la que vamos a hablar, es la la dependencia sensible de las condiciones iniciales, o el efecto mariposa, en el que tenemos un sistema que es determinista, pero a pesar de ello es imposible predecir a largo plazo, por la dependencia sensible a las condiciones iniciales. Y, de hecho, es casi como si la función es tan determinista, depende tanto de las condiciones iniciales, obedece las reglas con tanta precisión a lo largo del tiempo, que esta precisión la hace impredecible. Porque uno necesitaría conocer las condiciones iniciales, los valores iniciales, con una precisión imposible para realizar predicciones a largo plazo. Así que, de alguna forma, estos resultados negativos, que ciertos procesos, la predicción del tiempo quizás, nunca se podrán predecir a largo plazo. Pero también creo que son resultados positivos por una serie de razones. Una es símplemente que los resultados positivos son que no hay límite al conocimiento, y es mejor conocer los límites que no conocerlos. Pero también hay un tipo de sistemas caóticos que no se pueden predecir en cierto sentido, pero pueden ser predecibles en un sentido de promedio. Y vimos que los atractores extraños, que son un ejemplo agradable y vivo de cómo pueden coexistir el orden y el desorden en el mismo sistema. Así, en una atractor extraño, tenemos movimiento caótico, sensible a las condiciones iniciales, pero la estructura, la forma en el espacio de fases, a distancia de donde se establece el efecto mariposa, a lo largo de las trayectorias, es una estructura estable, es un atractor. Así, tenemos un gran número de condiciones iniciales, muy separadas, y las ponemos en el atractor, y una vez en el atracto, se mueven caóticamente, aperiódicamente, con dependencia sensible de las condiciones iniciales. Para la mayor parte de sistemas que hemos descrito con atractor extraño, no podemos hacer predicciones de trayectorias individuales, pero podemos hacer predicciones estadísticas con precisión porque la forma global de las trayectorias del atractor extraño se mueven por el espacio de fases de forma estable; es predecible. Así que podemos asegurar con claridad con qué frecuencia el sistema estará en esta región del espacio de fases, en contraposición a esta región, o cualquier otra situación en la que esté el sistema. Así pues, podemos tener una forma de estabilidad estadística global a largo plazo con inestablidad local que da lugar a dependencia sensible a las condiciones iniciales. Así que hay una mezcla interesante de esta combinación de un fenómeno de desorden y orden. Y de forma más general, creo que a menudo hay una presunción en ciencia, y en modelado quizá, de que el orden y desorden son cosas completamente diferentes, y si veis algo que se comporta con cierto orden y cierto desorden, tendremos que entender el sistema ordenado de forma unilateral, con un buen sistema de ecuaciones, y la parte desordenada necesitará procesos estadísticos o estocásticos, o algo similar. Y ésta puede ser un buen enfoque, pero también puede ser que el orden y el desorden puedan existir en mismo sistema, y en esencia puede constituir caras diferentes de la misma moneda. Así, de muchas formas diferentes, creo que los sistemas dinámicos desafían la idea de orden y desorden como opuestos, y también desafían la idea de que simplicidad y complejidad son opuestos. porque hay montones de ejemplos de comportamiento complejo a partir de ecuaciones simples. Otro aspecto que surje en los sistemas dinámicos y en otras partes, pero del que hablamos en este curso, y que es un tema que vale la pena resaltar, son los diferentes modos en que se utilizan los modelos matemáticos. Muy a grandes rasgos, uno puede imaginar dos formas de modelar un fenómeno. Uno es tratar de conseguir cada detalle correcto e intentar conseguir un modelo tan predictivo como sea posible, y este es un enfoque valioso. Pero, a veces también interesa conseguir un modelo que es deliberadamente simple, que deja fuera algunas características, quizá algunas características que no os preocupan, pero preserva algunas características en las que estáis más interesados. Así que, en este sentido, este tipo de modelo es más como una caricatura. Se diseña justo para capturar algunos elementos esenciales de un sistema, y no tratan de reproducir cada detalle de este sistema. Y a menudo, estos tipos de modelos, pueden llevar a una mejor comprensión, o al menos un tipo diferente de comprensión que los modelos realmente grandes que tratan de capturarlo todo. Por tanto, estos modelos simples sólo pueden sugerir, quizá, que hay simples mecanismos comunes para características similares que hemos visto a través de diferentes fenómenos. Probablemente, el mejor ejemplo de ésto es esta idea de universalidad. Así, esta duplicación del periodo hacia el caos es universal, en el sentido de que ciertos aspectos de cómo se produce, como proporciones de longitud o regiones periódicas sucesivas, serían iguales, no como sistemas matemáticos, sino también como sistemas físicos. Y esto es un ejemplo sorprendente de cómo modelos matemáticos muy simples pueden dar lugar a, no solo una comprensión cualitativa, sino predicciones numéricas sobre fenomenos físicos. Personalmente, tiendo a pensar que la universalidad, no en el mismo sentido fuerte que vemos en los sistemas dinámicos, en sistemas complejos como ecosistemas o redes complejas, o economías o similares, Así que pienso que la universalidad, en el sentido estricto, puede ser un poco una excepción, que no vemos todo el tiempo. Sin embargo, pienso que estos modelos sencillos ofrecen contribuciones realmente valiosas en el origen de comportamientos complejos, y comportamientos aleatorios también. No es el único tipo de contribución, pero creo que es una contribución importante. Y por último, está la cuestión de qué es el caos, qué son los sistemas dinámicos, cómo pensar, quizá, respecto al resto de las ciencias y el resgo de las matemáticas. ¿Es una revolución o un cambio de paradigma, como es la mecánica cuántica? Bien, Hemos discutido ésto en una entrevista con Steven Keller, filósofo de la ciencia en la Universidad de Hamline, y ahí parece, al menos a mí, que el caos y los sistemas dinámicos no son una revolución en la forma que lo fue la mecánica cuántica, por ejemplo. La mecánica cuántica cambia por completo nuestra visión del universo, y requirió, no sólo aceptar cosas nuevas, sino rechazar otras. No creo que el caos alcance este nivel. Realmente, no dice que la mecánica Newtoniana sea incorrecta, símplemente dice que la mecánica Newtoniana, esta idea basada en leyes del universo, ese mecanismo de relojería del universo, es realmente mucho más interesante y resulta que los relojes pueden también hacer cosas interesantes, no solo ser relojes, sino que pueden ser caóticos y aleatorios, y también producir patrones. De todas formas, no creo que el caos y los sistemas dinámicos requieran necesariamente rechazar teorías físicas, o todas las teorás fisicas, pero requieren volver a pensar sobre ciertos conceptos y ciertas ideas. Una buena descripción de ésto es un artículo sobre historia de la ciencia de David Aubin, Emi Dehan Domedico, en el que argumentan que más pensar en el caos como una revolución, un cambio súbito, hacen una larga revisión de la historia, como un gran arco con muchas corrientes de pensamiento fluyendo juntas, y lo que emerge, en este área de caos y sistemas dinámicos, lo llaman una gran reconfiguración social de las disciplinas, que cambia el panorama conceptual. Así, las disciplinas y las corrientes de pensamiento fluyen juntas y surgen quizá como una lengua común o un armazón común que reconfigura ciertas categorías, el orden y el desorden, como hemos hablado antes, constatndo que no tienen que ser opuestos, dándose cuenta de que podéis conseguir comportamiento aperiódico a partir de una función iterativa que se repite, o similar. Reconfiguraron algunas de estas ideas, y las disciplinas han fluído juntas en esencia, y por esto hay un lenguaje común, al menos en parte entre la biología, economía, matemáticas y física. Así que las nociones de atractor extraño, espacio de fases, exponente de Lyapunov, efecto mariposa, dependencia sensible a las condiciones iniciales, son todas ellas partes de este nuevo armazón, y hay una forma de comunicar ideas, y hay una forma de hacer modelos matemáticos, y quizá hay una forma de mirar el mundo. Y ojalá que durante este curso seais ahora parte de esta convergencia de ideas en caos y sistemas dinámicos también.