Continuamos con el resumen El siguiente tema se refiere a los diagramas de bifurcación: Son una forma de ver como el comportamiento de un sistema dinámico cambia a medida que cambian los parámetros y se construyen, creo que es la mejor forma de entenderlo, variando un sólo parámetro cada vez Así pues, para cada parámetro, se construye una linea de fase, si es una ecuación diferencial o un diagrama de estado final, para una función iterada obteniendo una colección de estos y se unen formando un diagrama de bifurcación Aqui tenemos uno de los primeros diagramas de bifurcación que hemos considerado. Esta es la ecuación logística con recogida la ecuación está escrita aquí y h es el parametro que estamos modificando y h ....no tengo espacio,... h está aquí, de 0 a 100, hasta 200 y asi sucesivamente y una forma de interpretar esto es: Supongamos que queremos saber que pasa en h igual a 100 Nos enfocamos en el valor 100 y se ve, ¡aha!, que hay un atractor aquï y un punto repulsor ahí Así pues, hay dos puntos fijos, uno atractor el otro repulsor y lo interesante es que, la población será estable en estos puntos recordad la historia que conté acerca de peces en un lago y h es la velocidad de pesca cuantos peces se pescan cada año y, vemos que incrementos en h, hacen que la población de peces decrezca Esto tiene sentido, pero lo sorprendente es que cuando se llega aquí y se hace un cambio muy pequeño en la velocidad de pesca la población en estado permanente, decrece subitamente y desaparece... Así un cambio pequeño en h conduce a un gran cambio cualitativo en el comportamiento de los peces Esto es un ejemplo de una bifurcación que ocurre justo aquí, que produce un cambio súbito en el comportamiento del sistema a medida que el parametro varía lenta y continuamente Así pues hemos visto los diagramas de bifurcación para ecuaciones diferenciales y vemos una sorprendente discontinuidad en el comportamiento Después, consideramos los diagramas de bifurcación en la ecuación logistica y vemos las bifurcaciones en el paso de periodo 2 a periodo 4 pero lo que es realmente interesante es que se forma una estructura increíble que hemos visto en detalle con zoom vemos que hay ventanas de periodo 3 y, en general, un comportamiento complicado Así hay muchos valores para los que el sistema es caótico El sistema se mueve de un periodo a otro en una forma determinada y tiene una estructura autosimilar que es muy complicada pero tiene una serie de regularidades en la ecuación logistica A continuacion consideramos la ruta hacia el caos, con duplicaciones más de cerca y en particular, se define un cociente delta que describe cuantas veces las ramas n son mas largas que las n+1 así pues, delta es cuanto más largo es esto, respecto de eso Esto es delta 1 y el numero de veces que esto es mas largo que eso, será delta 2 y consideramos los diagramas para distintas funciones y, aunque no lo he probado, discutimos como esta cantidad delta, este cociente entre las longitudes en el diagrama de bifurcación es universal y esto significa que tiene el mismo valor para todas las funciones con tal de que,... (un poco de letra pequeña) que mapeen el intervalo sobre sí mismo y tengan un solo máximo cuadrático Así, este valor, que se,... considera no racional y trascendente, se conoce como la constante de Feigenbaum en honor a una de las personas que hicieron este descubrimiento de universalidad Este es un sorprendente resultado matemático. y muestra que existen similitudes entre un amplio conjunto de sistemas matemáticos En mi opinión, lo que es incluso más sorprendente son las consecuencias físicas. Los sistemas físicos muestran la misma universalidad Así, la ruta hacia el caos duplicando el periodo se observa en sistemas físicos,... he hablado del grifo que gotea, sistemas convectivos, fluidos y se puede medir delta en estos sistemas. No es un experimento sencillo, pero puede hacerse y los resultados son consistentes con este valor univesal 4,669 y lo que esto quiere decir que, de alguna forma, las sencillas ecuaciones unidimensionales,.... Empezamos con la ecuación logistica y obviamente, invente una historia sobre conejos en una isla que, sin embargo, producen un número, o hacer predicciones que se pueden llevar al mundo real y realizar un experimento mucho más complicado y obtener los mismo número Esto creo que es uno de los resultados más sorprendentes e interesantes de los sistemas dinámicos Después, pasamos de ecuaciones diferenciales de una dimensión a ecuaciones diferenciales de dos variables Ahora, en lugar de controlar la temperatura o la población vamos a controlar dos poblaciones Digamos R para conejos y F para zorros y tendremos un sistema de dos ecuaciones diferenciales enlazadas el futuro de los conejos depende de los conejos y los zorros y el futuro de los zorros depende de los zorros y los conejos Ahora, están acopladas, enlazadas entre si. Se pueden resolver estas ecuaciones usando el metodo de Euler o técnicas similares de forma casi idéntica a como se hace en sistemas unidimensionales y se obtienen dos soluciones la solucion para los conejos y la solución para los zorros y en este caso, (es la ecuación de Lotka-Volterra) ambas oscilan, tenemos ciclos tanto de conejos como de zorros pero ahora podemos dibujar R respecto a F De esta forma perdemos la información temporal pero nos muestra como los conejos y los zorros están relacionados y si hacemos esto. obtenemos un dibujo como este. simplemente recuerdo que la curva va en estas direcciones y de esta manera, los conejos y los zorros estan dando vueltas La población de conejos crece, y la cantidad de zorros crece. Luego, el número de conejos decrece, puesto que los zorros se los comen Después, le número de zorros decrece, puesto que están hambrientos, ya que no hay conejos y así sucesivamente. Esto si similar a la línea de fase para ecuaciones diferenciales de una variable pero se denomina el plano de fase puesto que esta en un plano y esto muestra como se relacionan F y R en el plano de fase El plano de fase, y el espacio de fases son una serie de construcciones geométricas y herramientas analíticas utilizadas para visualizar comportamientos de sistemas dinámicos Un resultado importante es que no puede existir caos, en ecuaciones diferenciales de dos variables porque las curvas no pueden cruzarse en el diagrama de fase las ecuaciones son determinísticas y esto significa que en todos los puntos del espacio, (recordemos que hablamos del espacio de fase) un punto del espacio da una poblacion de conejos y zorros, hay una dirección única, asociada con el movimiento El valor de la funcion R del tiempo o F de tiempo que dan una dirección: como los conejos estan creciendo o como los zorros están creciendo Si dos lineas se cruzaran, como hacen mis dedos en este momento entonces tendríamos un sistema no determinado habria dos trayectorias posibles desde un mismo punto Asi el hecho de que las curvas no pueden cruzarse limita el comportamiento y solo pueden trazar determinadas trayectorias en el espacio de fases Puede haber puntos estables o inestables, puntos fijos y órbitas que, por supuesto, pueden ir hacia el infinito y puede haber ciclos límite, produciendo comportamientos ciclicos y hemos visto un ejemplo de estos Pero lo más importante es que no pueden existir órbitas aperiodicas Este resultado se conoce como el teorema de Poincaré- Bendixson que tiene aproximadamente un siglo de existencia que no es inmediatamente obvio, precisa una prueba Esa es la razon por la que es un teorema y no una afirmación obvia Se podría tratar de imaginar curvas en el espacio que nunca repitan pero que tampoco salgan de un area limitada pero el teorema de Poincaré- Bendixson dice estas soluciones son imposibles El resultado principal es que las ecuaciones diferenciales de dos dimensiones no pueden ser caoticas Sin embargo, este no es el caso para ecuaciones diferenciales en tres dimensiones Aquí tenemos la ecuación de Lorentz De nuevo es un sistema dinámico, es un conjunto de reglas; nos dice que algo cambia con el tiempo En ese caso ese algo es x, y, z; .... He olvidado que parametros he escogido para sigma, rho y beta, Y obtenemos tres soluciones, x, y y z.. Las tres son curvas que varían con t y también podemos representarlas en el diagrama de fase x, y z juntos y... para ese sistema, lo que obtenemos es una estructura complicada que da vueltas sobre sí misma y se repite Parece que las lineas se cruzan, pero no es así. Hay un espacio entre ellas. Parece que se cruzan porque esta es una representación bidimensional de algo que ocurre en 3 dimensiones. De acuerdo Un poco más acerca de los espacios de fase, Determinismo significa que curvas en 2 D no pueden cruzarse pero como el espacio es tridimensional las curvas pueden ir por encima o por debajo y eso significa que puede existir un comportamiento más interesante una trayectoria puede moverse alrededor por encima o por debajo de ellla misma de manera complicada y lo que eso significa, en consecuencia, es que las ecuaciones diferenciales en 3D pueden ser caóticas podemos obtener curvas, limitadas y aperiodicas con sensibilidad a condiciones iniciales también. Y despues hemos descubierto que las trayectorias en el espacio de fase, son particularmente interesantes y divertidas, y frecuentemente, se dirigen hacia estas cosas denominadas atractores extraños Aqui tenemos el atractor de Lorentz para los notables valores d e la ecuación de Lorentz y los atractores extraños, que son... son puntos de atracción. y lo que significa es que atraen a las órbitas cercanas Por lo tanto, si tenemos unas condiciones iniciales las curvas van a ser atraidas hacia ese atractor Y en ese sentido son estables, Si estamos en el atractor, y alguien nos empuja un poco volvemos enseguida hacia él. Esto es lo que significa ser estable Asi hay un atractor estable en el plano de fase pero el movimiento hacia el atractor no es periodico de la forma que la mayor parte de los atractores y puntos fijos que hemos visto sino que el movimiento sobre el atractor es caotico y las óbitas son aperiodicas y dependen de las condiciones inciales Asi pues es un atractivo atractor caotico Analizamos el tema un poco mas desde el punto de vista geometrico y descubrimos que los ingredientes claves para un atractor extraño, o realmente, para lograr algún tipo de caos, es extender y doblar. Se necesita algo de extensión para separar las órbitas cercanas y la analogía la hacemos con el amasado un poco de masa Cuando se amasa, se extiende y esto separa los elementos de la masa y se dobla sobre sí mismo Y el doblado obliga a que las órbitas esten limitadas y toma dos órbitas lejas y las mueve cerca pero la extensión, empuja las órbitas cercanas lejos. y eso es lo que produce el efecto mariposa de dependencia de las condiciones iniciales Extensión y doblado puede ser relativamente facil de entender en un espacio tridimensional como es el espacio de amasar una pasta de pan o un espacio de fases pero ocurre también en mapas de una dimensión y la ecuación logística se extiende y se dobla. y esto puede explicar como los mapas de una dimensóon de las funciones iteradas tienen algunas de las características de los sistemas de mayor dimensión Y tambien explica como estos sistemas multidimensionales sistemas convectivos, grifos que gotean, pueden ser representados por sistemas de una dimensión como la ecuación logística y tienen el parámetro universal 4, 669 En resumen, extensión y doblado son los ingredientes clave de los sistemas dinamicos con caos. Asi pues, atractores extraños una vez más, son estas estructuras complejas que resultan de sistemas dinámicos sencillos Recordemos que hemos visto tres ejemplos El mapa de Henon, el atractor Henon que es un sistema de dos dimensiones, discreto un sistema de dos dimensiones iterado y despues, dos diferentes conjuntos de ecuaciones diferenciales en tres dimensiones: la famosa ecuacion de Lorentz y también, la ligeramente menos famosa, pero igualmente bella ecuación de Rössler De nuevo, el movimiento en el atractor es caotico pero todas las órbitas van hacia el atractor Y por tanto, los atractores extraños combinan elementos de orden y desorden que es uno de los conceptos clave del curso El movimiento en el atractor es local e inestable en ellos las órbitas se separan, pero globalmente, son estables y tienen estas estructuras estables El mismo atractor de Lorentz aparece todo el tiempo Si se separa del atractor, vuelve a él de nuevo En el último tema que consideramos en la unidad 9 es la formacion de patrones. Hemos visto a lo largo del curso que los sistemas dinámicos pueden producir caos este es uno de los resultados más importantes. Un comportamiento no periódico e impredecible. pero los sistemas dinámicos tienen mucho mas que caos Pueden producir modelos patrones, estructuras organizaciones, complejidad etc. y hemos considerado un ejemplo de un sistema que forma patrones Hay muchos más entre los que podriamos haber elegido. Hemos considerado los sistemas de reacción-difusión Aqui tenemos dos productos quimicos que reaccionan y se difunden y difusión, que es la expansión aleatoria de moleculas en el espacio la difusión tiende a eliminar diferencias hacer todo tan aburrido y suave como sea posible Pero si tenemos dos substancias químicas que reaccionan de una determinada manera es posible obtener estructuras espaciales estables incluso en presencia de difusión Aquí tenemos dos ecuaciones, que explique en la última unidad Son deterministicas, como los sistemas dinamicos que hemos estudiado antes y se extienden espacialmente ya que ahora u y v son funciones, no solo del tiempo, sino de x e y y por tanto deben tratarse con ecuaciones en derivadas parciales Crucialmente, las reglas son locales Así los valores de u y de v, que son concentraciones químicas dependen de una función f de los valores de estas concentraciones en una posición específica. y de la Laplaciana, en esta posición. Es decir, tenemos una regla local,.. y las concentraciones en un lugar, no saben cual es la concentracion en otra posición y hacen lo que tienen que hacer, en su posicion específica y, sin embargo, producen estas estructuras cuando se consideran en conjunto Vimos un ejemplo rápido, experimentos con las ecuaciones de reacción difusión en la web de Experimentarium digitale y aqui tenemos un ejemplo de lo que vimos a partir de una situación inicial aparecen estos puntos estables Tambien vimos un video de Stephen Morris de Toronto, en el que dos fluidos se vierten en una placa de Petri y, casi de manera mágica, empiezan a aparecer patrones El Belousov Zhabotinsky es otro ejemplo de Reacción- Difusión El tema de formación de patrones es un tema muy amplio. Podria ser probablemente, un curso en sí mismo Lo más importante que quiero indicar es que hay mucho más en los sistemas dinámicos que simplemente caos e impredecibilidad Sistemas dinamicos, simples y extendidos en el espacio, con reglas locales son capaces de producir patrones y estructuras globales estables. por eso, el estudio de caos, incluye mucho mas que el caos Algunos sistemas dinámicos sencillos pueden producir complejidad y fenomenos emergentes