Entonces, resumamos la Unidad 9.
Como siempre, comenzaré con un resumen por temas
de lo que hemos visto en esta unidad.
Y luego, hablaré un poco de forma más amplia
y general de los temas e ideas claves.
Así que esta unidad trató la formación de patrones.
Comenzaré diciendo que hemos visto
que los sistemas dinámicos son
capaces de exhibir caos,
un comportamiento impredecible y aperiódico,
un "efecto mariposa".
Pero la historia es más compleja.
Los sistemas dinámicas pueden hacer mucho más
que producir caos o desorden.
También pueden producir patrones,
estructura, organization, etcétera.
Y en esta unidad vimos un ejemplo
particular de un sistema dinámico formador de patrones,
una clase de sistemas conocido como
sistemas de reacción-difusión.
Así que primero hablamos de la difusión,
y, de hecho, traté de demostrarla
dejando caer unas gotas de colorante alimenticio
en un vaso de agua.
La difusión es la tendencia de una sustancia
a extenderse como resultado de un movimiento aleatorio,
por lo que las moléculas de tinta aleatorias
o de colorante alimenticio rebotan
y eventualmente se desparraman
de manera uniforme en todo el vaso de agua.
Otra forma de decir esto es, que los productos químicos
tienden a moverse desde regiones
de alta concentración a regiones de baja concentración.
Y el resultado de esto es que la difusión
tiende a suavizar cualquier diferencia
en concentración, llevando a una distribución
homogénea y uniforme del colorante alimenticio
o lo que sea que esté difundiendo.
Entonces, la difusión es descrita matemáticamente
por la ecuación de difusión.
Aquí está.
En esta ecuación, D es la constante de difusión.
Está relacionada con cuán rápido la sustancia difunde.
Sustancias distintas difundirán
a distintas velocidad en distintos medios.
Frecuentemente esto es algo que
uno puede medir experimentalmente.
Esto es la tasa de cambio de concentración,
y esto el operador laplaciano, un tipo
de derivada espacial del sistema.
Tengo que decir que "u" aquí
es la concentración de la sustancia
y es una función de x e y.
Podríamos tener, por ejemplo, en esta hoja
distintas concentraciones en
diferentes puntos de la página.
Así que esto describe la difusión de sustancias;
una vez que conocéis D y las condiciones iniciales.
En el estado de equilibrio, cuando esto deja de cambiar,
si establezco esto igual a cero, entonces
estoy, en efecto, estableciendo esta cantidad igual a cero,
y ésto tiene el efecto de coger
la función más aburrida posible.
Esto será una distribución plana
si las condiciones de contorno lo permiten.
Si hay más, por ejemplo,
hay sustancias entrando por este lado,
y detenidas a este lado,
entonces teandremos una "distribución suavizada" e
interpolación entre esos dos valores.
Así que, de nuevo, el punto principal es que la difusión
nos conduce a funciones aburridas,
funciones que son lo más homogéneas posible.
Pero las cosas se ponen más interesantes
en los sistemas reacción-difusión.
Así que ahora tenemos dos tipos diferentes de sustancias
frecuentemente llamados
"u" y "v" o "a" y "b";
los detalles pueden variar.
"u" será la concentración
de una sustancia en función de x e y.
Así que diferentes concentraciones
en diferentes puntos del espacio.
Lo mismo para "v".
Y ambas sustancias difunden
se desparraman en la superficie,
pero también interactuan entre sí.
Así, su ecuación,
la ecuación de movimiento,
la regla del sistema dinámico,
lo que determina sus valores
son estas dos ecuaciones.
Así, esto es solo la difusión para "u",
pero ésto dice que hay algo,
un término agregado,
que es la interacción,
típicamente entre "u" y "v".
Así que es la difusión, más algo más
que depende de "u" y "v".
Lo mismo para la ecuación de "v":
"v" difundirá, más otra interacción
una interacción diferente,
una función "g",
pero también función de u y v.
Así que es la difusión, más algo más.
Este es un sistema dinámico determinista
No hay elemento de azar,
no hay estocasticidad en las reglas,
y es un sistema dinámico extendido espacialmente.
Así que si le damos condiciones iniciales,
valores iniciales a u y v en la cuadrícula
o rectángulo (no tiene que ser una cuadrícula)
y especificamos cuáles son las condiciones
en los bordes, esto determina
los valores futuros en cada lugar de esta hoja.
Otro punto importante es que
esta regla es local.
Y dejadme explicar lo que significa.
El uso del término "local" no es
el estándar pero creo que se justifica.
La idea es que si quiero determinar,
por ejemplo, el próximo valor de u,
en determinado punto ... de la superficie.
y conozco el valor actual de u y v
Si quiero conocer el siguiente valor
utilizando algo como el método de Euler,
lo que necesito saber es
el valor de u aquí, el valor de v aquí,
y las derivadas de u y v también en ese punto.
Entonces, a lo que me refiero con local es que
si quiero conocer el siguiente valor de u,
cómo cambia u en este punto,
no necesito saber el valor de u aquí.
Así que estas ecuaciones son todas locales
y, en una ecuación dada,
x e y...
hacen referencia al mismo punto.
Así que otra forma de decir esto es que
no hay interacciones de largo alcance aquí.
El siguiente valor de u está determinado por
por el valor actual de u,
y algo por su curvatura,
dado por el Laplaciano en ese punto.
Así que tenemos un sistema dinámico
local, determinístico, y espacialmente extendido.
Así, en sistemas de reacción-difusión
o específicamente, sistemas activador-inhibidor
se da típicamente la siguiente configuración:
u es, generalmente, un activador,
es algo que cataliza su propio crecimiento.
Así que la presencia de u da lugar a más u.
Así, el crecimiento exponencial
de los conejos es un ejemplo de esto.
Normalmente no decimos que los conejos
catalizen su propio crecimiento,
pero en cierto sentido, eso es lo que hacen.
v es una especie de inhibidor,
o algo que típicamente también crecerá
en presencia de u, pero también inhibe u.
Así que evita que u crezca demasiado.
En el ejemplo que dí, esto serían zorros.
Los zorros crecen en presencia de u
Los zorros comen conejos, así habrá más zorros
pero los zorros inhiben a los conejos.
Impiden que aumenten y aumenten.
Así que tenemos estas dos cosas
y que v difunde más rápido que u.
Esto puedo conducir a estructuras espaciales estables.
Ya vimos ejemplos de esto. Enseguida les mostraré otro.
Las formas particulares determinadas dependen
de varias cosas diferentes:
la tasa de difusión relativa,
cuánto más rápido difunde una respecto a la otra,
y también, la geometría del sistema.
Y, en cierto sentido, los valores inciales también.
Y por supuesto, también dependerá
de la función particular escogida para f y g.
Hay montones de posibilidades diferentes.
Puede haber 3 componentes: u, v y w.
Así que hay montones modelos diferentes.
Si lo analizamos matemáticamente, rápidamente se vuelve bastante complejo
Pero en la lectura adicional para esta unidad,
hay sugerencias o lugares donde podéis aprender más.
Bien, estos son sistemas de reacción-difusión,
un tipo particular de ellos.
Aquí hay algunos resultados que obtuvimos
con el programa Exxon en Experimentarium Digitale
Aquí está la url. Hay un enlace en la página de enlaces
Y ésta es la configuración guepardo
o patrón de cheeta. Aquí está.
No se ve tan bien en blanco y negro.
Es una imagen más interesante en la pantalla
Aquí la tasa de difusión de u es 3.5, que es difícil de ver.
Y v es 16
Y el programa especifica también cuáles son las funciones f y g.
El punto importante es que,
incluso si tenemos un sistema de difusión
en el que las cosas tienen que esparcirse,
no se espera que tengan mayor densidad,
por ejemplo u aquí que aquí.
y tiene que haber una situación permanente
y tienen que difundir hacia fuera,
es lo que hace la difusión, suaviza las cosas.
Pero, si tenemos sistemas de reacción-difusión,
con cosas interaccionando como hemos descrito,
uno puede conseguir una variedad de
diferentes estructuras espaciales estables.
Así que, estos sistemas forman patrones,
estructuras espaciales estables,
aparentemente de la nada
Ésto es un resultado matemático.
Hay montones de sistemas físicos que hacen ésto.
Mostré en parte el vídeo del
experimento de Belousov-Zhabotinsky
en una placa de Petri.
Este es el enlace al video en Youtube.
Este enlace también está en la sección de Recursos adicionales
Este vídeo es de Stephen Morris, de la Universidad de Toronto,
con el que hablaremos la próxima semana.
Así que, ésto parece algo diferente a
las manchas del cheeta, pero
es la misma reacción-difusión general
que conseguimos bajo esta onda de propagación
y luego las ondas colisionan unas con otras
e interaccionan de formas interesantes.
Bien. Así que, resumiendo de nuevo
la formación de patrones.
Hay más sobre el estudio de sistemas dinámicos
que el simple caos. Mucho más.
Con frecuencia, simples
sistemas dinámicos extendidos espacialmente
con reglas locales, como estos sistemas
de reacción-difusión, son capaces de
producir patrones globales y estructuras estables.
Y ésto comienza a darnos idea
de cómo pueden emerger patrones
en un mundo sin estructura, por otra parte.
Los sistemas de reacción-difusión
que hemos estudiado aquí
son simplemente uno de muchos
muchos ejemplos de sistemas formadores de patrones.
Hay montones de clases diferentes de modelos,
de ecuaciones diferenciales parciales,
y los sistemas de reacción-difusión
son sólo uno de ellos.
Pero, en general, hay cierta creatividad
en estos sistemas dinámicos simples
que no solo producen caos,
sino también pueden producir estas interesantes estructuras.