Vamos a investigar un tipo particular de ecuaciones de reacción-difusión
Estas son las ecuaciones que examinaremos.
Esta es la ecuación básica de reacción-difusión
De nuevo u y v, dos tipos diferentes de sustancias,
cada una difunde con velocidad A y B
Y presentan interacción.
Reaccionan entre ellas según esta función f y esta función g.
Y esta es la función particular que examinaremos
f(u,v) es u (1 - v) - 12 y g es 16 - u * v
Así que fijaremos este tipo particular de interacción
y experimentaremos con diferentes valores de A y B.
Y veremos que se puede producir un rango interesante de patrones.
Haremos ésto usando otro programa de Javascript,
otro programa que es Experimentarium Digitale.
Fue escrito por Marc Monticelli, igual que el programa del atractor de Henon.
Un gran recurso, con montones de programas realmente buenos.
Así que vamos a revisar su programa de reacción-difusión, o ecuación de Turing
y ver cómo funciona y divertirnos con él.
Aquí está el programa que usaremos para
resolver algunas ecuaciones de reacción-difusión.
Éstas son llamadas a veces estructuras de Turing, por Alan Turing,
el matemático que primero utilizó este enfoque
en la formación de patrones, a primeros de los años 1950.
Ésta es la página, de nuevo, de Experimentarium Digitale.
Éste es un gran recurso,
con montones de programas javascript de sistemas dinámicos,
y otros aspectos de las matemáticas.
Hay un enlace a este programa, como es usual,
en la sección Enlace a Programas,
en la parte derecha de la barra de navegación
de la web Complexity Explorer.
Éste es el programa Structures de Turing,
y éstas son las dos ecuaciones.
Las mismas que presento en las clases.
Y recordad que A es la constante de difusión de u,
que es el activador,
y B es la constante de difusión de v,
que es el inhibidor.
Éstos son los dos parámetros que varían
conforme hacemos estos experimentos.
Y f y g son términos de interacción,
que permanecen sin cambio.
Bien, nos desplazamos abajo en el programa,
y miramos qué pasa.
Bien, primero fijaos en la condición inicial.
La reacción-difusión ocurre en este cuadrado,
y las concentraciones iniciales se distribuyen aleatoriamente en el cuadrado.
Y lo que vemos en rojo es la concentración del activador.
Y donde el rojo es más rojo
significa que hay alta concentración,
y negro sría menor concentración.
Inicialmente A se establece a 3.5, y B se establece a 16.
Y si pulsamos Start, resolverá las ecucaciones,
y ésto es un sistema dinámico.
Recordar que aquí hay tiempo.
Lo que veremos es que ésto se solucionará
con bastante rapidez, en regiones diferentes de negro y rojo.
Pulsaremos Start.
Y se mueve de un lado a otro,
y al final produce manchas difusas,
y podéis ver las manchas más o menos estables.
Así que tenemos este patrón estable,
estas estructuras que han emergido de
una distribución uniforme con ligeras variaciones.
Veámoslo de nuevo.
Así que lo reajustaré.
Cada vez que reajusto
consigo una condición inicial diferente.
Y éstas son elegidas al azar,
y... sí; aquí hay algo de estructura.
Hay algo de agrupamiento,
pero fijaos que estos agrupamientos crecen
y forman estructuras de largo alcance.
Hagámoslo de nuevo.
Y de nuevo vemos este tipo de patrón de manchas.
El patrón parece borroso,
que es la naturaleza del patrón,
no es una crítica del programa.
pero me parece que trato de enfocarlo,
y a veces me molesta los ojos mirarlo.
Quizá sea cosa mía.
Bien, a esta configuración en particular
el programador Marc la ha llamado Guepardo,
que es la forma francesa de cheetah en inglés.
Cheetah, son grandes gatos de África,
que tienen manchas.
Así que veamos... podemos cambiar estos parámetros
con estas barras deslizantes,
y si hacemos ésto...
dejadme ver, dejadme reajustar
y después Iniciar.
Y los patrones tienen un aspecto diferente,
dependiente de los valores de A y B.
Y recordar que éstos son justo
las velocidades absolutas,
las tasas de difusión del
activador A, que es lo que vemos,
y el inhibidor B, que no se representa.
Reajustemos de nuevo.
Podemos cambiar esto un poco más.
Reajustar
Y curiosamente...
esperemos que no produzca horribles dolores de cabeza...
No siempre se estabiliza
en un patrón estable o fijo.
A veces aparecen oscilaciones, etc.
Probemos de nuevo.
Aquí vemos este tipo de grandes oscilaciones.
Bien, fijaos que se autoorganiza
en estas regiones intermitentes de negro y rojo,
pero, de nuevo, ésto es determinista,
y en particular, es una regla local.
Y local significa que cada sitio individual,
cada pixel individual o retículo cuadrado,
se establezca como sea,
mira sólo los vecinos más próximos
en una pequeña región.
De todas formas, el retículo completo, en un sentido,
es capaz de organización.
Bien, dejadme decir algo más sore ésto
antes de concluir y dejaros experimentar.
Hay otro tipo de disposiciones:
Colonia,
Fin,
Empreinte es Huella,
Laberinto,
Grêle - creo que granizo, como la lluvia helada.
Miremos esta configuración.
Fijaos, cuando cambio a Grêle,
que automáticamente cambia las constantes de difusión por mí.
Reestablecemos e iniciamos.
Y ésto típicamente produce simplemente
un pequeño número de puntos,
que quizá parezca granizo.
Reestablecemos la condición inicial y
el estado final es diferente.
Tiene el mismo aspecto,
justo unos pocos cuadritos diferentes,
pero la localización exacta de estos cuadros
difiere de una ejecución a otra.
Bien, veamos, volvamos al Guepardo,
o sea, el cheetah.
Y finalmente, dejadme que os enseñe lo que hace este botón:
"Pintura"
Ahora mismo, estamos mirando la concentración de u,
y son símplemente tonos de rojo.
Muy rojo significa que hay mucho u.
Muy negro signofica no mucho u.
Si pulsamos "Pintura" en lugar de
solo rojos, se usan más colores,
una paleta completa de color.
Veamos.
Parece que las regiones negras se vuelven naranja.
El rojo...
Hombre, es un poco difícil de ver...
Pero lo importante es que hay cierto esquema de color
para transformar concentraciones de u en algún color.
Parece que las regiones negras son naranja,
que lo que era rojo se convierte
en este tipo de amarillo.
Eso creo.
Y lo importante no es exactamente qué
significan estos colores, sino, como probablemente hayais adivinado,
que se pueden conseguir imágenes aún más excitantes.
Iniciemos ésto.
Y allá vamos,
hay un guepardo multicolor psicodélico.
Y volvemos a la configuración inicial.
A veces encuentro que estos programas
están, un poco desconcertados, y
los parámetros A y B no se actualizan.
Y simplemente recargo la página, y todo funciona de nuevo.
Podéis experimentar.
Y podríais hacerlo
probando "Pintura" encendiendo y apagando,
y probando diferentes configuraciones:
Guepardo, Colonia, Fin, Huella, etc.
Y veréis que hay un montón de patrones diferentes,
Y si ponéis "Pintura" encendido para colorearlos,
algunos de ellos parecen impresionantes.
Pero, resumiento,
lo que estamos viendo es que un
sistema dinámico simple y local,
una regla sin ningún tipo de visión a distancia,
y que no trata de coordinar todo el sistema.
Simplemente sabe lo que está pasando,
cómo se comporta la difusión
justo en esa localización particular,
en cada localización particular.
Que este sistema dinámico local
puede producir patrones estables.
Y más aún, este sistema dinámico
se basa en la difusión.
Y la difusión quiere igualarlo todo.
Y las sustancias, en cualquier tipo de fluido,
aire o agua, tenderán a dispersarse.
Pero ésto nos dice que hay un proceso de reacción-difusión
que puede mantener estos patrones juntos.
Y, por supuesto, no son sólo sustancias
que experimentan difusión.
Uno puede imaginar animales sometidos
a algún tipo de difusión en un ecosistema.
Esto podría no ser matemáticamente lo mismo que difusión,
pero se podría modelar de igual forma.
Uno también podría imaginar ideas difundiendo, dispersándose
en algún tipo de sistema social,
y lo que dicen estos resultados es que,
incluso en a pesar de este tipo
de aspecto nivelador de la difusión,
se pueden conseguir estructuras espaciales estables.