Así que, permitidme avanzar mediante un ejemplo bastante cualitativo,
y luego haremos un poco más de ecuaciones
y luego, en la siguiente unidad, volveremos
al ordenador para que nos resuelva estos sistemas.
Así que ésto es reacción y difusión.
Tenemos dos tipos de sustancias o
dos cosas u y v, o A y B, y difunden
ésto es parte de la ecuación.
y también reaccionan.
Interaccionan entre ellas de alguna manera
Típicamente, en esta configuración, una de este tipo de sustancias
es llamada activador, y la otra es un inhibidor.
Así que, dejadme escribirlo.
En este gráfico, u será el activador,
y v es un inhibidor,
algo que enlentece o inhibe o destruye sea lo que sea u.
Y B será mayor que A,
lo que significa que el inhibidor
difunde más rápido que el activador.
Por tanto, tenemos dos especies químicas diferentes,
dos tipos de sustancia jugando papeles diferentes.
Una es un activador y otra un inhibidor.
Describiré ésto en un momento.
Y difundirán a diferente velocidad.
Y típicamente, el inhibidor difundirá
más rápido que el activador.
Y ésto será suficiente
para darnos algún tipo de patrón.
Por tanto, voy a tratar de esbozarlo...
describir algún tipo de historia inventada
de cómo podría ésto funcionar.
Así, en este gráfico, vamos a tener un activador
que serán conejos,
y un inhibidor, que serán zorros.
Y, veamos, los zorros serán rojos.
Y los conejos... ¿Tenemos algún color para los conejos?
Tengamos conejos marrones.
Los conejos pueden ser marrones, ¿por qué no?
Bien. Imaginad que tenemos una condición inicial
Y, bien, éste es el rectángulo,
el mundo donde viven los conejos y zorros.
Y, obviamente ésto no es un ejemplo con conejos y zorros de verdad.
Sólo quiero intentar ilustrar la idea general de activador e inhibidor
y diferentes tasas de difusión.
Así que podríamos tener una condición inicial en las que
los conejos se extiendan por todo - elegidlos al azar.
Y luego algunos zorros.
Intentar dibujar los zorros un poco mayores
para que sean más visibles.
Ok.
Así que, hay una posible condición inicial
conejos y zorros diseminados en este mundo
Y estoy suponiendo aquí que la interacción entre conejos y zorros no es cíclica,
como en las ecuaciones de Lotka-Volterra estudiadas antes,
pero que los conejos y los zorros pueden coexistir de alguna manera.
Así que hay algún equilibrio en la población de conejos y zorros,
una especie de proporción feliz en la que ambos están en equilibrio.
Así que quizá sea cierto una forma de equivalencia
justo en el centro de estos círculos de Lotka-Volterra.
Bien, así que los zorros y los conejos difunden
y quizá ambos, zorros y conejos,
no les gustea estar hacinados.
Por tanto, se apartarán de las regiones
de mayor densidad a las más alejadas.
Y podríamos esperar que después de un rato
si comenzamos así, veríamos una distribución uniforme
de conejos y zorros en este mundo.
Sería contriaintuitivo, sorprendente, ver grupos de conejos y grupos de zorros
porque este gráfico muestra que los conejos o los zorros, o las sustancias, difunden.
Y la difusión esparce y suaviza todo.
Sin embargo, para la dinámica del activador o el inhibidor, no siempre es el caso.
Por tanto, dejadme describir un poco cómo podría ser ésto.
Diríamos que hay una región que tiene una densidad unusualmente alta de conejos,
justo una fluctuación aleatoria.
No comenzamos con una distribución perfectamente uniforme de conejos.
Así que, aquí están los conejos.
Y cuando hay muchos conejos, tiende a haber más conejos.
Así que los conejos son activadores aquí.
Que si hay... los conejos producen más conejos.
Y de repente, vemos alta densidad de conejos aquí.
Y podríamos esperar que difundieran,
e irán difundiendo.
Sin embargo, si hay alta densidad de conejos,
también habrá zorros aquí,
porque los zorros van donde hay conejos.
Y así, algunos zorros podrían venir aquí, o...
Bien, en este modelo poco realista,
podría haber zorros añadidos desde arriba o creados de la nada.
Lo que pasa aquí es que primero tenemos un crecimiento en la población de conejos
y luego una cecimiento en la población de zorros.
Y los zorros se comen a los conejos, pero los conejos llevan la ventaja del principio
Había tantos que los conejos continúan creciendo
Ahora la difusión ocurre aquí.
¿Verdad? Aquí está el acúmulo.
Esta región de alta densidad de conejos y zorros.
Y van a difundir
Y esperamos ver que los conejos y los zorros se extiendan.
Sin embargo, en este sistema los zorros se mueven más rápido que los conejos.
El inhibidor difunde más rápido que el activador.
Y lo que ocurre es -
Ok, veamos, ¿dónde voy a dibujar ésto?
Dejadme ampliar. Así que aquí tengo todos estos conejos.
Y tengo algunos zorros, pero ahora los zorros diseminan más rápido.
Y podríamos tener una situación aquí en la que los zorros diseminan más rápido.
Y entonces hay una especie de muro de zorros alrededor de los conejos,
impidiendo que los zorros... perdón, los conejos se extiendan más allá.
O podríamos tener algo un poco más complicado aún
donde esta región de conejos tenderá a expandirse
con los zorros siempre desplazando el límite hacia fuera.
Y entonces podríamos tener regiones de alta densidad de conejos confluyendo.
Y entonces es cuando este tipo de crecimiento se detiene.
Ésto no ha sido una argumento matemático preciso en absoluto
Pero lo principal que he intentado sugerir es que cuando tenemos activador e inhibidor
Un activador se activa a sí mismo. Podéis conseguir un tipo de comportamiento de huída
Pero también tenéis un inhibidor que empieza alrededor de los conejos
pero disemina más rápido que estas dos tipos de cosas:
un crecimiento inestable en el activador,
inestable significa que crece rápidamente.
Pero un inhibidor que se mueve más rápido puede crear estructuras espaciales.
Y sería posible, en un sistema con términos de interacción y conducta de difusión
tener un estado estable, un estado de equilibrio, que no es uniforme.
Incluso si la difusión tiende a ser una fuerza niveladora, suavizadora.
Podemos tener una situación en la que la difusión más esta interacción más
esta dinámica, origina una formación interesante de patrones espaciales.