Así que la difusión es una tendencia
a que las concentraciones se igualen.
Así que tenemos una cantidad de sustancia aquí,
en aire o agua, en un medio de difusión,
algo en lo que puede difundir,
y esperaríamos que esta cantidad
difunda y se haga uniforme.
Así que ésto es la difusión.
Hay otro tipo de sistemas que llamamos
sistemas de reacción-difusión y
son especificados de esta forma:
Imaginemos que que tenemos algún
medio de difusión, aire, agua, ¿quién sabe?
Y ahora, no una sustancia,
sino dos tipos de sustancia A y B.
E imaginad que A y B experimentan
algún tipo de reacción y además
A y B todavía son libres para difundir.
Así que podemos preguntarnos
qué es lo que podemos esperar ver.
Bueno, lógicamente,
dado lo que sabemos sobre la difusión,
la difusión se siente y se extiende hacia fuera,
si empezamos con una cantidad de A y una cantidad de B en este medio,
podría haber interacciones y ocurrir cosas,
A podría transformarse en B, B podría transformarse en A,
pero podríamos volver 5 o 10 minutos después
o un día después, y esperaríamos ver
A o B o cualquier cosa que A y B formen juntos,
hayan difundido hacia fuera del sistema.
Otra forma de pensar sobre ello es,
si tenemos un sistema
y espolvoreamos algo de A y espolvoreamos algo de B,
y lo dejamos funcionar,
esperaríamos que A y B quedaran mezclados.
Sería realmente extraño si A,
de alguna forma, se separara de B,
en regiones de A y regiones de B.
Pero resulta que, como probablemente
puedais adivinar porque el título de
esta unidad es Formación de patrones,
hay ciertos tipos de sistemas de reacción-difusión
en los que pasa exactamente éso.
En los que empezamos con una mezcla
aleatoria, más o menos homogénea, de A y B
sean lo que sea, y pequeñas fluctuaciones,
puede que haya un poco más A aquí,
pueden ser amplificadas y todo puede cambiar
y acabar con un patrones espaciales estables,
incluso aunque estamos en un medio de difusión.
Así que este es un resultado sorprendente,
de ninguna manera obvio,
pero creo que es interesante,
y señala, de nuevo, a una de las lecciones
de los sistemas dinámicos,
que los sistemas dinámicos simples pueden
tener resultados complicados sorprendentes.
Así que, dejadme ahora describir algo de
las matemáticas de estos sistemas
de reacción-difusión, y después,
en la siguiente subunidad, veremos
algunos experimentos de ordenador.
Así que, hablemos un poco sobre
las matemáticas de los sistemas de
reacción-difusión.
Usaré ecuaciones e introduciré
algunos términos.
No tenéis que utilizar estas matemáticas
directamente, pero las ecuaciones son útiles,
probablemente para señalar algo mientras hablo,
y también para entender el programa que
vamos a investigar en la próxima subunidad
Y podríais ver estas ecuaciones en otros
sitios, porque son muy comunes.
Así que, en el sistema de reacción-difusión,
seguimos, no un tipo de sustancia,
sino dos tipos de sustancia.
Igual que antes,
tenemos un convenio especial...
x e y
y queremos saber u de x e y,
que es la concentración de sustancia A,
cómo se propaga A.
u(x,y) me dice las coordenadas...
estoy aquí...
y u me da la concentración de la sustancia A.
Pero ahora también tenemos otra sustancia,
la sustancia B, y su concentración
viene dada por la letra v
Al menos para mí u y v son letras peligrosas
de usar, porque escribiendo rápido
pueden intercambiarse, pero
esta notación u y v es bastante estándar,
así que seguiré con ella y trataré
que las u no parezcan v.
Bien. ¿Cuál son las ecuaciones que
gobiernan ésto?
Bueno. Ambas sustancias difundirán,
así que son descritas por el
término de difusión.
Recordad que es algo como ésto:
La derivada parcial de u respecto a t,
la tasa de cambio de u, es A
multiplicado por delta al cuadrado u,
y de forma similar para v.
Hasta aquí, es lo que teníamos antes,
no hay interacción ni reacción
entre estos dos términos.
Ésto describe la difusión de la sustancia A
y ésto describe la difusión de la sustancia B,
y A y B son las constantes de difusión,
y podrían ser diferentes, es decir,
podrían difundir a diferente velocidad,
podrían propagarse por la superficie,
una más rápida que la otra.
Bien, pero, este no es el final de la historia.
Ésto sólo serían dos cosas difundiendo,
no muy emocionante.
Pero podría haber reacción entre ellas,
y, genéricamente, ésto se escribe así
Y éstos términos serían términos de reacción.
Así, a la izquierda, ésto es la tasa de cambio
de u, que depende de este término,
que dice cómo va a esparcirse,
y este término, que es una función adicional de u y v
Podría ser que cuando más u,
más crece ésto, pero la presencia de v
inhibe el crecimiento de u.
Así estos son como términos de interacción
en la ecuación que hemos estudiado.
Os daré ejemplos específicos de ésto.
Pero antes de hacer un ejemplo,
quiero...
hablar un poco de ésto
como un sistema dinámico.
Lo que quiero decir...
Ésto es un sistema dinámico.
Un sistema dinámico es una regla
para cómo algo cambia con el tiempo.
Aquí, las cosas que estamos siguiendo
son u y v, pero u y v no son simples números,
son funciones enteras en un rectángulo
o un círculo o en cualquier forma
que estemos estudiando.
Así que diríamos que ésto es un
sistema dinámico extendido espacialmente,
en el que lo que está cambiando con el tiempo,
no es un simple número para la población,
o dos números para dos poblaciones diferentes,
sino cómo la concentración en todo
el área cambia con el tiempo.
Este sistema dinámico es determinista.
Si me decís las condiciones iniciales,
y en este caso significa especificar las
concentraciones iniciales de las u, la sustancia A,
y las concentraciones iniciales de B, dado por esta función v
y el valor a lo largo de este límite,
ésto determina el comportamiento futuro
de u y v en todas partes de ésto.
Así que es un sistema dinámico determinista,
justo como antes.
El otro punto que quiero hacer para
caracterizar este sistema dinámico
es que es local.
Dejadme explicar qué quiero decir con ésto.
Suponed que estamos interesados en
la concentración de la sustancia... perdón...
la concentración de la sustancia A
en un punto particular del espacio,
este punto preciso. Así que sabemos
cuál es ahora, y podemos descifrar
cuál es más tarde,
igual que cuando estudiamos
ecuaciones diferenciales ordinarias
durante el curso.
Está extendido espacialmente respecto a
que estamos describiendo un sistema
que se extiende en el espacio, pero
en este punto en particular,
en cualquier punto, de hecho,
el valor futuro depende de la cantidad
de cosas que hay aquí,
la cantidad de u que hay, sustancia A,
la cantidad de v que hay, sustancia B,
y de este término, que es una derivada,
la segunda derivada espacial de este tipo
en este punto. Así que depende de
qué pasa en este punto.
El futuro, el próximo valor, si quieres, de u,
no depende de de lo que pasa...
Lo diré otra vez
El siguiente de valor de u en este punto,
no depende de lo que pasa en este otro punto,
aquí o aquí, depende sólo de lo que pasa
en este punto, del valor actual de u,
el valor actual de v y el valor actual de la
derivada espacial de u.
Igual que antes, el cuadrado de delta
es el laplaciano...
Vamos a escribirlo por exhaustividad
Así que ésto es
la segunda derivada de u respecto a x
más la segunda derivada de u respecto a y.
Y escribiremos que ésto es determinista
y local. Así que aquí tenemos un
sistema dinámico determinista
extendido espacialmente,
pero la regla es local.
Y lo que vemos es que este sistema
determinista y local, incluso si no hay difusión en él,
es capaz de producir un patrón estable
de estructura espacial.