Deixe me explicar algo a respeito
da matemática da difusão.
Vocês utilizarão esta equação diretamente,
de todas as maneiras, porém,
para aqueles que conhecem um pouco de Cálculo, pode ser útil
e a equação de difusão é bem padrão
e tão comum em algumas situações,
que vê-la aqui será útil.
Assim, em difusão,
falaremos principalmente de
difusão em uma superfície bidimensional.
Você podem imaginar algum sólido geométrico
retangular ou quadrado,
e a variável u, que depende de x e y.
Como de costume, teremos as coordenadas x e y
u será a concentração de uma substância.
Assim, u(x,y) é a concentração da substância.
É uma função da posição,
podemos ter diferentes concentrações
em diferentes partes do retêngulo.
Então, a equação de difusão é uma
equação diferencial parcial, a seguinte:
A derivada temporal de u deve ser igual a
Deixe-me interpretar esta equação do começo ao fim.
Esta é a derivada temporal de u.
O que isto diz, então é que em uma (x,y) em particular
u, a concentração do que quer que seja
- poderia ser um pigmento, como antes -
está aumentando ou diminuindo,
esta é a derivada temporal de u.
D é chamado de constante de difusão.
D será diferente para diferentes químicos,
ou diferentes tipos de líquidos ou gases.
Ela nos dá uma medida de quão rápida ou quão lentamente a difusão ocorre.
Este sinal de menos está aqui somente porque
as coisas tendem a se difundir de concentrações altas
a concentrações baixas.
Elas tendem a "fluir" colina abaixo, poderia se dizer.
Este é o Laplaciano - permita-me dizer algumas coisas a seu respeito.
É o seguinte: ele é a segunda derivada em x, somada à segunda derivada em y.
Deixe-me esclarecer o que isso significa.
Primeiro, esta quantidade é uma função
da distribuição espacial da subtância.
O ponto roxo, como aqui,
estas derivadas nos dizem como esta
a concentração do roxo varia
na direção x e como vairia
na direção y.
Nos dizem como a concentração varia em todo o espaço.
Agora, esta derivada nos diz como a concentração varia ao longo do tempo.
Este valor é muito comum na física-matemática e em matemática aplicada
é conhecido como laplaciano
e aparece normalmente em situações como esta.
Suponho que, com palavras, ele diria que
a derivada temporal da concentração
é igual a menos D, onde D é uma concentração,
por esta função das derivadas espaciais da concentração.
Agora, o que temos é que isto tem o efeito
de fazer com que a concentração,
se pensarmos em termos de partículas,
tendem a se mover de regiões
de alta concentração,
para regiões de baixa concentração.
Permita-me mostrar outra maneira de pensar nisso.
Suponha que estejamos interessados em soluções de equilíbrio.
Vamos colocar um grande ponto roxo
aqui no meio, e deixar ele se difundir.
O que acontecerá?
De maneira geral, o comportamento geral,
queremos ver, no comportamento,
soluções de equilíbrio, o que significa
que ele é zero. Por que?
Por que a derivada temporal é zero. Não está mudando,
assim, a derivada de u com relação a t será zero.
Tem que ser zero. Assim, em equilíbrio,
isto significa que o fim
tem que ser zero.
Deixe-me escrever isso.
Então, em equilíbrio, isso significa que isto é zero.
O que significa que o laplaciano tem que ser zero.
Uma maneira em que isto pode acontecer
é a segunda derivada em x e a segunda derivada em y sejam zero
e isso pode acontecer se a distribuição for constante.
Se u for constante em todas as partes,
então estas duas segundas derivadas serão zero,
e isto se satisfaz.
Isso ilustra ma característica geral
deste tipo de solução de equilíbrio.
Vou encerrar com um quadro.
Esta equação é uma equação diferencial parcial.
Ela seria
"a equação mais chata possível".
Esta frase é atribuída a David Griffiths, creio eu,
em um de seus livros sobre electromagnetismo.
Então, esta equação é a mais chata possível.
O que só quer dizer que suas derivadas são zero.
A maneira mais simples de fazê-lo é
tratando isto como uma constante.
Poderíamos ter algo um pouco mais complicado.
Suponhamos que haja um um pouco da tinta roxa sendo continuamente
injetada no sistema.
De maneira que este lado sempre tenha
uma concentração mais alta que o outro.
Em outras palavras, teríamos
algumas condições de fronteira
que devem ser satisfeitas.
Porém, isto deve escolher a função mais chata possível,
dadas as condições de fronteira, não importando quais sejam.
De novo, estas são equações diferenciais parciais, pois envolvem
derivadas parciais, e resolvê-las é, creio eu, um exercício muito diferente
conceitualmente, não há uma maneira fácil de explicar os métodos de Euler
para resolvê-la.
Não vamos falar muito mais sobre isso, não temos
uma versão de cálculo para resolvê-lo.
Mas suponho, de novo, que o mais importante é que isto
é a função mais chata possível.
E, em geral, a difusão é um processo,
matemática ou fisicamente,
que tende a igualar concentrações, de químicos ou o que quer que seja,
que sejam descritos como difusivos.