1 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Deixe me explicar algo a respeito 2 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 da matemática da difusão. 3 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Vocês utilizarão esta equação diretamente, 4 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 de todas as maneiras, porém, 5 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 para aqueles que conhecem um pouco de Cálculo, pode ser útil 6 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 e a equação de difusão é bem padrão 7 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 e tão comum em algumas situações, 8 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 que vê-la aqui será útil. 9 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Assim, em difusão, 10 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 falaremos principalmente de 11 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 difusão em uma superfície bidimensional. 12 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Você podem imaginar algum sólido geométrico 13 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 retangular ou quadrado, 14 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 e a variável u, que depende de x e y. 15 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Como de costume, teremos as coordenadas x e y 16 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 u será a concentração de uma substância. 17 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Assim, u(x,y) é a concentração da substância. 18 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 É uma função da posição, 19 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 podemos ter diferentes concentrações 20 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 em diferentes partes do retêngulo. 21 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Então, a equação de difusão é uma 22 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 equação diferencial parcial, a seguinte: 23 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 A derivada temporal de u deve ser igual a 24 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Deixe-me interpretar esta equação do começo ao fim. 25 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Esta é a derivada temporal de u. 26 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 O que isto diz, então é que em uma (x,y) em particular 27 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 u, a concentração do que quer que seja 28 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 - poderia ser um pigmento, como antes - 29 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 está aumentando ou diminuindo, 30 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 esta é a derivada temporal de u. 31 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 D é chamado de constante de difusão. 32 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 D será diferente para diferentes químicos, 33 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 ou diferentes tipos de líquidos ou gases. 34 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Ela nos dá uma medida de quão rápida ou quão lentamente a difusão ocorre. 35 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Este sinal de menos está aqui somente porque 36 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 as coisas tendem a se difundir de concentrações altas 37 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 a concentrações baixas. 38 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Elas tendem a "fluir" colina abaixo, poderia se dizer. 39 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Este é o Laplaciano - permita-me dizer algumas coisas a seu respeito. 40 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 É o seguinte: ele é a segunda derivada em x, somada à segunda derivada em y. 41 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Deixe-me esclarecer o que isso significa. 42 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Primeiro, esta quantidade é uma função 43 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 da distribuição espacial da subtância. 44 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 O ponto roxo, como aqui, 45 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 estas derivadas nos dizem como esta 46 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 a concentração do roxo varia 47 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 na direção x e como vairia 48 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 na direção y. 49 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Nos dizem como a concentração varia em todo o espaço. 50 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Agora, esta derivada nos diz como a concentração varia ao longo do tempo. 51 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Este valor é muito comum na física-matemática e em matemática aplicada 52 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 é conhecido como laplaciano 53 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 e aparece normalmente em situações como esta. 54 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Suponho que, com palavras, ele diria que 55 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 a derivada temporal da concentração 56 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 é igual a menos D, onde D é uma concentração, 57 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 por esta função das derivadas espaciais da concentração. 58 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Agora, o que temos é que isto tem o efeito 59 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 de fazer com que a concentração, 60 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 se pensarmos em termos de partículas, 61 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 tendem a se mover de regiões 62 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 de alta concentração, 63 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 para regiões de baixa concentração. 64 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Permita-me mostrar outra maneira de pensar nisso. 65 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Suponha que estejamos interessados em soluções de equilíbrio. 66 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Vamos colocar um grande ponto roxo 67 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 aqui no meio, e deixar ele se difundir. 68 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 O que acontecerá? 69 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 De maneira geral, o comportamento geral, 70 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 queremos ver, no comportamento, 71 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 soluções de equilíbrio, o que significa 72 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 que ele é zero. Por que? 73 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Por que a derivada temporal é zero. Não está mudando, 74 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 assim, a derivada de u com relação a t será zero. 75 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Tem que ser zero. Assim, em equilíbrio, 76 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 isto significa que o fim 77 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 tem que ser zero. 78 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Deixe-me escrever isso. 79 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Então, em equilíbrio, isso significa que isto é zero. 80 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 O que significa que o laplaciano tem que ser zero. 81 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Uma maneira em que isto pode acontecer 82 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 é a segunda derivada em x e a segunda derivada em y sejam zero 83 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 e isso pode acontecer se a distribuição for constante. 84 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Se u for constante em todas as partes, 85 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 então estas duas segundas derivadas serão zero, 86 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 e isto se satisfaz. 87 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Isso ilustra ma característica geral 88 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 deste tipo de solução de equilíbrio. 89 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Vou encerrar com um quadro. 90 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Esta equação é uma equação diferencial parcial. 91 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Ela seria 92 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 "a equação mais chata possível". 93 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Esta frase é atribuída a David Griffiths, creio eu, 94 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 em um de seus livros sobre electromagnetismo. 95 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Então, esta equação é a mais chata possível. 96 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 O que só quer dizer que suas derivadas são zero. 97 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 A maneira mais simples de fazê-lo é 98 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 tratando isto como uma constante. 99 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Poderíamos ter algo um pouco mais complicado. 100 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Suponhamos que haja um um pouco da tinta roxa sendo continuamente 101 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 injetada no sistema. 102 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 De maneira que este lado sempre tenha 103 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 uma concentração mais alta que o outro. 104 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Em outras palavras, teríamos 105 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 algumas condições de fronteira 106 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 que devem ser satisfeitas. 107 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Porém, isto deve escolher a função mais chata possível, 108 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 dadas as condições de fronteira, não importando quais sejam. 109 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 De novo, estas são equações diferenciais parciais, pois envolvem 110 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 derivadas parciais, e resolvê-las é, creio eu, um exercício muito diferente 111 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 conceitualmente, não há uma maneira fácil de explicar os métodos de Euler 112 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 para resolvê-la. 113 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Não vamos falar muito mais sobre isso, não temos 114 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 uma versão de cálculo para resolvê-lo. 115 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 Mas suponho, de novo, que o mais importante é que isto 116 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 é a função mais chata possível. 117 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 E, em geral, a difusão é um processo, 118 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 matemática ou fisicamente, 119 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 que tende a igualar concentrações, de químicos ou o que quer que seja, 120 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 que sejam descritos como difusivos.