Permítanme decir algo acerca de
las matemáticas de la difusión.
Ustedes estarán utilizando esta ecuación
directamente, de todas maneras, pero
para aquellos de ustedes que hayan llevado poco cálculo, podría ser útil,
y la ecuación de difusión es realmente estándard
y es tan común en algunas situaciones,
así que quizá verla aquí será de utilidad.
Así que, en difusión,
estaremos hablando principalmente de
difusión en una superficie dos dimensional.
Pueden imaginar alguna clase de geometría
rectangular o cuadrada,
y la variable u, que depende de x, y
Como es usual, tenemos las coordenadas x, y
u será la concentración de algún químico.
Así que u(x, y) es la concentración del químico.
Es una función de la posición, podemos
tener diferentes concentraciones químicas
en diferentes partes de este rectángulo.
Entonces, la ecuación de difusión, es una
ecuación diferencial parcial, y es la siguiente
Dice que la derivada temporal de u debe ser igual a lo siguiente
Permítanme interpretar esta ecuación término a término
Esta es la derivada temporal de u
Así que esto dice, que en un (x, y) en particular,
es u la concentración de lo que sea,
podría ser *tinta? como antes
esta incrementando o decrementando
esta es la derivada temporal de u
D es algo llamado la constante de difusión.
Será diferente, para diferentes químicos,
o diferentes tipos de líquidos o gas.
Nos da una medida de que tan rápido o lento ocurre la difusión.
Este signo menos aquí aparece solamente porque
las cosas tienden a difundirse de concentraciones altas a
concentraciones bajas.
Las cosas tienden a "fluir" colina abajo, hablando vagamente.
Este es el Laplaciano, permítanme decir un poco de este.
Es el siguiente: Es la segunda derivada en x, más la segunda derivada en y
Permítanme decir un par de cosas sobre esto, para darle un poco de significado.
Primero, esta cantidad es una función de
la distribución espacial del químico.
El punto morado, así que aquí,
estas derivadas nos dicen cómo esta
concentración de morado varía
si te mueves en la dirección x y cómo
varía si te mueves en la dirección y.
Nos dice cómo varía la concentración en todo el espacio.
Ahora, esta derivada nos dice cómo varía la concentración en el tiempo.
Esta cantidad es muy común en física-matemática y matemáticas aplicadas
y es conocida como el laplaciano
y aparece normalmente en situaciones como esta.
Supongo que con palabras, esto diría que
la derivada temporal de la concentración
es igual a menos D, donde D es alguna concentración,
por esta función de las derivadas espaciales de la concentración.
Ahora, resulta que esto tiene el efecto,
de hacer que la concentración, si lo
piensan en términos de partículas,
tenderán a moverse de regiones de
concentración alta, a regiones de
concentración baja.
Permítanme decir otra manera de pensar sobre esto.
Supongan que estamos interesados en soluciones de equilibrio.
Así que ponemos un gran punto morado aquí
en la mitad, y dejamos que se difumine.
¿Qué habremos obtenido a la larga?
A la larga, el comportamiento a la larga,
en el comportamiento, estamos buscando
soluciones de equilibrio, lo que significa
que esto será cero. ¿Porqué?
porque la derivada temporal es cero. No está cambiando,
así que la derivada de u respecto de t será cero.
Esto tiene que ser cero. Así que en equilibrio,
esto significa que este término tiene que
ser cero.
Permítanme ver si puedo encontrar donde escribir aquí.
Así que en equilibrio, eso significa que esto es cero.
Lo cual significa que este laplaciano tiene que ser cero.
Así que una manera de que esto pase, es
que la segunda derivada en x y la segunda derivada en y sean cero,
y eso puede pasar si la distribución es constante.
Así que si u es constante en todas partes,
entonces estas dos segundas derivadas son cero ambas,
y esto se satisface.
Esto ilustra una característica general
de este tipo de soluciones de equilibrio.
Permítanme encerrar esto en un cuadro.
Esta ecuación aquí, es una ecuación diferencial parcial.
Tiene el efecto de hacer que...
"selecciona la función más aburrida posible"
Esa es una frase, que creo se atribuye a David Griffiths
en uno de sus libros de electromagnetismo.
Así que esta ecuación selecciona la función más aburrida posible.
Lo cual solo dice que estas derivadas son cero.
La manera más simple de hacer esto es que
tengamos que esto sea constante.
Podríamos tener algo un poco más complicado.
Supongamos que hubieras tenido un poco de tinta morada inyectada continuamente
en el sistema aquí.
De manera que este lado siempre tenga una
concentración más alta de tinta que este otro.
En otras palabras, podríamos tener
algunas condiciones de frontera que deben
ser satisfechas.
Pero esto todavía debe escoger la función más aburrida posible,
dadas las condiciones de frontera, sin importar cuáles sean.
Otra vez, estas son ecuaciones diferenciales parciales, pues envuelven
derivadas parciales, y resolverlas es , yo creo, un ejercicio muy diferente
conceptualmente, no hay una historia fácil de decir sobre los métodos de Euler para
resolverla.
No vamos a decir mucho más, no tenemos
una versión de cálculo para resolver esto.
Pero supongo quizá, una vez más, que lo más importante, es que esto
selecciona la función más aburrida posible.
y en general, la difusión es un proceso,
matemáticamente, o físicamente,
que tiende a emparejar concentraciones, de químicos o lo que sea, que
estén describiendo como difusivo.