1
00:00:02,749 --> 00:00:04,324
Permítanme decir algo acerca de
2
00:00:04,324 --> 00:00:06,563
las matemáticas de la difusión.
3
00:00:06,830 --> 00:00:08,848
Ustedes estarán utilizando esta ecuación
4
00:00:08,848 --> 00:00:10,640
directamente, de todas maneras, pero
5
00:00:10,730 --> 00:00:14,691
para aquellos de ustedes que hayan llevado
poco cálculo, podría ser útil,
6
00:00:14,971 --> 00:00:19,557
y la ecuación de difusión es realmente
estándard
7
00:00:19,557 --> 00:00:20,692
y es tan común en algunas situaciones,
8
00:00:20,692 --> 00:00:23,000
así que quizá verla aquí será de utilidad.
9
00:00:23,491 --> 00:00:24,983
Así que, en difusión,
10
00:00:26,626 --> 00:00:28,332
estaremos hablando principalmente de
11
00:00:28,332 --> 00:00:29,709
difusión en una superficie dos dimensional.
12
00:00:32,360 --> 00:00:34,350
Pueden imaginar alguna clase de geometría
13
00:00:34,350 --> 00:00:35,387
rectangular o cuadrada,
14
00:00:37,231 --> 00:00:42,212
y la variable u, que depende de x, y
15
00:00:43,639 --> 00:00:49,469
Como es usual, tenemos las coordenadas
x, y
16
00:00:50,851 --> 00:00:54,407
u será la concentración de algún químico.
17
00:01:08,005 --> 00:01:10,589
Así que u(x, y) es la concentración del
químico.
18
00:01:10,925 --> 00:01:13,523
Es una función de la posición, podemos
19
00:01:13,709 --> 00:01:15,171
tener diferentes concentraciones químicas
20
00:01:15,190 --> 00:01:17,102
en diferentes partes de este rectángulo.
21
00:01:18,769 --> 00:01:21,080
Entonces, la ecuación de difusión, es una
22
00:01:21,372 --> 00:01:24,002
ecuación diferencial parcial, y
es la siguiente
23
00:01:26,609 --> 00:01:32,822
Dice que la derivada temporal de u debe
ser igual a lo siguiente
24
00:01:38,550 --> 00:01:41,535
Permítanme interpretar esta ecuación
término a término
25
00:01:42,210 --> 00:01:44,437
Esta es la derivada temporal de u
26
00:01:44,934 --> 00:01:47,361
Así que esto dice, que en un (x, y) en
particular,
27
00:01:47,538 --> 00:01:49,541
es u la concentración de lo que sea,
28
00:01:49,745 --> 00:01:51,438
podría ser *tinta? como antes
29
00:01:51,719 --> 00:01:53,374
esta incrementando o decrementando
30
00:01:53,374 --> 00:02:05,114
esta es la derivada temporal de u
31
00:02:06,694 --> 00:02:08,792
D es algo llamado la constante de difusión.
32
00:02:17,706 --> 00:02:21,122
Será diferente, para diferentes químicos,
33
00:02:21,598 --> 00:02:23,340
o diferentes tipos de líquidos o gas.
34
00:02:23,643 --> 00:02:26,729
Nos da una medida de que tan rápido o
lento ocurre la difusión.
35
00:02:28,590 --> 00:02:30,450
Este signo menos aquí aparece solamente
porque
36
00:02:30,655 --> 00:02:34,508
las cosas tienden a difundirse de
concentraciones altas a
37
00:02:34,822 --> 00:02:36,106
concentraciones bajas.
38
00:02:36,985 --> 00:02:40,206
Las cosas tienden a "fluir" colina abajo,
hablando vagamente.
39
00:02:41,325 --> 00:02:44,361
Este es el Laplaciano, permítanme decir
un poco de este.
40
00:02:47,897 --> 00:02:59,412
Es el siguiente: Es la segunda derivada
en x, más la segunda derivada en y
41
00:03:00,731 --> 00:03:06,002
Permítanme decir un par de cosas sobre
esto, para darle un poco de significado.
42
00:03:06,221 --> 00:03:08,923
Primero, esta cantidad es una función de
43
00:03:09,023 --> 00:03:14,817
la distribución espacial del químico.
44
00:03:16,126 --> 00:03:17,813
El punto morado, así que aquí,
45
00:03:18,899 --> 00:03:22,415
estas derivadas nos dicen cómo esta
46
00:03:23,276 --> 00:03:25,528
concentración de morado varía
47
00:03:26,149 --> 00:03:28,956
si te mueves en la dirección x y cómo
48
00:03:28,956 --> 00:03:31,016
varía si te mueves en la dirección y.
49
00:03:31,016 --> 00:03:35,197
Nos dice cómo varía la concentración
en todo el espacio.
50
00:03:37,399 --> 00:03:42,183
Ahora, esta derivada nos dice cómo varía
la concentración en el tiempo.
51
00:03:42,183 --> 00:03:47,169
Esta cantidad es muy común en
física-matemática y matemáticas aplicadas
52
00:03:47,169 --> 00:03:48,778
y es conocida como el laplaciano
53
00:03:48,842 --> 00:03:52,618
y aparece normalmente en situaciones como
esta.
54
00:03:57,035 --> 00:03:59,892
Supongo que con palabras, esto diría que
55
00:03:59,892 --> 00:04:02,539
la derivada temporal de la concentración
56
00:04:02,539 --> 00:04:05,319
es igual a menos D, donde D es alguna
concentración,
57
00:04:06,747 --> 00:04:12,397
por esta función de las derivadas
espaciales de la concentración.
58
00:04:13,127 --> 00:04:16,890
Ahora, resulta que esto tiene el efecto,
59
00:04:16,922 --> 00:04:20,648
de hacer que la concentración, si lo
60
00:04:20,648 --> 00:04:22,719
piensan en términos de partículas,
61
00:04:23,876 --> 00:04:26,001
tenderán a moverse de regiones de
62
00:04:26,001 --> 00:04:26,892
concentración alta, a regiones de
63
00:04:26,892 --> 00:04:28,182
concentración baja.
64
00:04:28,182 --> 00:04:30,473
Permítanme decir otra manera de pensar
sobre esto.
65
00:04:33,573 --> 00:04:36,110
Supongan que estamos interesados en
soluciones de equilibrio.
66
00:04:39,174 --> 00:04:42,147
Así que ponemos un gran punto morado aquí
67
00:04:42,147 --> 00:04:43,842
en la mitad, y dejamos que se difumine.
68
00:04:45,809 --> 00:04:47,103
¿Qué habremos obtenido a la larga?
69
00:04:47,774 --> 00:04:51,926
A la larga, el comportamiento a la larga,
70
00:04:51,926 --> 00:04:52,944
en el comportamiento, estamos buscando
71
00:04:52,944 --> 00:04:53,908
soluciones de equilibrio, lo que
significa
72
00:04:55,463 --> 00:04:56,344
que esto será cero. ¿Porqué?
73
00:04:56,344 --> 00:04:58,242
porque la derivada temporal es cero.
No está cambiando,
74
00:05:00,477 --> 00:05:02,659
así que la derivada de u respecto de t
será cero.
75
00:05:03,704 --> 00:05:07,534
Esto tiene que ser cero. Así que en
equilibrio,
76
00:05:08,633 --> 00:05:09,968
esto significa que este término tiene que
77
00:05:09,968 --> 00:05:10,683
ser cero.
78
00:05:12,060 --> 00:05:13,989
Permítanme ver si puedo encontrar donde
escribir aquí.
79
00:05:15,528 --> 00:05:28,880
Así que en equilibrio, eso significa que esto es
cero.
80
00:05:29,119 --> 00:05:32,750
Lo cual significa que este laplaciano
tiene que ser cero.
81
00:05:34,129 --> 00:05:36,137
Así que una manera de que esto pase, es
82
00:05:36,328 --> 00:05:39,225
que la segunda derivada en x y la segunda
derivada en y sean cero,
83
00:05:40,337 --> 00:05:44,026
y eso puede pasar si la distribución es
constante.
84
00:05:45,478 --> 00:05:47,627
Así que si u es constante en todas partes,
85
00:05:48,076 --> 00:05:50,628
entonces estas dos segundas derivadas
son cero ambas,
86
00:05:51,379 --> 00:05:52,895
y esto se satisface.
87
00:05:54,424 --> 00:05:55,920
Esto ilustra una característica general
88
00:05:56,835 --> 00:05:58,945
de este tipo de soluciones de equilibrio.
89
00:06:00,367 --> 00:06:02,398
Permítanme encerrar esto en un cuadro.
90
00:06:05,562 --> 00:06:08,542
Esta ecuación aquí, es una ecuación
diferencial parcial.
91
00:06:09,711 --> 00:06:11,986
Tiene el efecto de hacer que...
92
00:06:14,949 --> 00:06:17,256
"selecciona la función más aburrida
posible"
93
00:06:18,123 --> 00:06:20,991
Esa es una frase, que creo se atribuye a
David Griffiths
94
00:06:21,992 --> 00:06:23,222
en uno de sus libros de electromagnetismo.
95
00:06:24,085 --> 00:06:27,788
Así que esta ecuación selecciona la
función más aburrida posible.
96
00:06:28,122 --> 00:06:30,118
Lo cual solo dice que estas derivadas son
cero.
97
00:06:31,081 --> 00:06:32,122
La manera más simple de hacer esto es que
98
00:06:32,626 --> 00:06:34,426
tengamos que esto sea constante.
99
00:06:35,851 --> 00:06:37,539
Podríamos tener algo un poco más
complicado.
100
00:06:37,907 --> 00:06:43,662
Supongamos que hubieras tenido un poco
de tinta morada inyectada continuamente
101
00:06:43,704 --> 00:06:45,223
en el sistema aquí.
102
00:06:45,223 --> 00:06:46,429
De manera que este lado siempre tenga una
103
00:06:46,429 --> 00:06:47,629
concentración más alta de tinta que este
otro.
104
00:06:47,629 --> 00:06:50,937
En otras palabras, podríamos tener
105
00:06:51,125 --> 00:06:51,976
algunas condiciones de frontera que deben
106
00:06:51,976 --> 00:06:53,246
ser satisfechas.
107
00:06:53,781 --> 00:06:56,046
Pero esto todavía debe escoger la función
más aburrida posible,
108
00:06:56,226 --> 00:06:58,448
dadas las condiciones de frontera, sin
importar cuáles sean.
109
00:06:59,262 --> 00:07:03,258
Otra vez, estas son ecuaciones
diferenciales parciales, pues envuelven
110
00:07:04,118 --> 00:07:12,217
derivadas parciales, y resolverlas es ,
yo creo, un ejercicio muy diferente
111
00:07:13,218 --> 00:07:16,002
conceptualmente, no hay una historia fácil
de decir sobre los métodos de Euler para
112
00:07:16,002 --> 00:07:17,444
resolverla.
113
00:07:17,594 --> 00:07:20,600
No vamos a decir mucho más, no tenemos
114
00:07:20,600 --> 00:07:23,683
una versión de cálculo para resolver
esto.
115
00:07:23,683 --> 00:07:26,738
Pero supongo quizá, una vez más, que
lo más importante, es que esto
116
00:07:26,738 --> 00:07:28,508
selecciona la función más aburrida
posible.
117
00:07:29,176 --> 00:07:30,147
y en general, la difusión es un proceso,
118
00:07:31,118 --> 00:07:32,090
matemáticamente, o físicamente,
119
00:07:33,558 --> 00:07:37,063
que tiende a emparejar concentraciones,
de químicos o lo que sea, que
120
00:07:37,418 --> 00:07:39,485
estén describiendo como difusivo.