Olá atodos. Sejam bem-vindos à unidade 9. O tópico da unidade 9 é formação de padrões. Até aqui, os principais resultados estavam focados em caos. Ele acontece quando um sistema dinâmico determinista produz órbitas limitadas que são aperiódicas e tem dependência sensível das condições iniciais -o efeito borboleta. Porém, há muito mais sobre sistemas dinâmicos que somente caos e imprevisibilidade. Além de comportamento desornado ou imprevisível, sistemas dinâmicos também podem produzir estruturas, padrões e ordem. Nesse sentido, há muito mais que apenas caos e imprevisibilidade no mundo - olhamos a nosso redor e vemos vários tipos de fenômenos que possuem padrões, tem estrutura, ordem, ou algum tipo de organização própria. Então, vamos ver que, da mesma maneira que sistemas dinâmicos podem produzir comportamentos aparentemente aleatórios, sistemas dinâmicos também podem produzir padrões. A estrutura dessa unidade será um pouco diferente das anteriores. Eu não poderei entrar em muitos detalhes matemáticos, porque a matemática para o exemplo que eu quero apresentar é consideravelmente mais complexa e eu não sei como fazê-lo sem utilizar bastante cálculo e equações diferenciais. Ainda assim, acredito que conseguirei descrever o fenômeno geral e as ideias matemáticas básicas em jogo sem utilizar toda a maquinaria de equações diferenciais. Nós vamos tentar. O principal fenômeno que iremos estudar é conhecido como sistemas reação-difusão, e, de certa maneira, estes são uma classe de sistemas dinâmicos diferentes do que estudamos até aqui, que são capazes de produzir uma grande variedade de padrões diferentes. Estes não são os únicos formadores de padrões, há vários outros que o fazem e várias técnicas são usadas para estudá-los. Porém, eu acho que estudar estes sistemas reação-difusão é um bom exemplo para ilustrar o que acontece na formação de padrões e algumas outras coisas que sistemas dinâmicos podem fazer. Nós vamos começar com a reação-difusão em um instante, mas antes, um comentário adicional, você deve estar se perguntando o que aconteceu aqui. Ontem à noite, eu entrei em uma disputa territorial com um dos meus gatos, Ancho. ele é muito gentil, mas um pouco desastrado e acho que ele estava tentando entrar embaixo das cobertas, subindo em mim e ele escorregou e se agarrou ao meu rosto enquanto caía. Ou seja, é só um arranhão, vai se curar logo e me desculpe se ele te distrai ou parece estranho. Bom, vamos começar com reação-difusão. Antes de falar sobre equações reação-difusão, eu quero falar sobre difusão, somente. Difusão é a tendência que partículas tem de se dispersarem - de se tornarem uniformes em distribuição ou concentração. Vou começar com uma demonstração de difusão. Este é um recipiente com água pura e cristalina e este aqui tem corante alimentício roxo. Eu vou colocar algumas gotas na água e o que devemos observar que o corante tende a se espalhar. Ele se difunde e, eventualmente, chegamos a uma concentração uniforme. Então, vamos tentar. Aqui vai uma gota. Está caindo. Mas, ao mesmo tempo, está se espalhando. É um padrão incrível, na verdade. Então, o movimento de queda não é a difusão. Mas essas faixas, elas deveriam se tornar mais finas e fracas. E, se vocês olharem, elas não estão fazendo isso. Bom, talvez, esta não seja a melhor demonstração de difusão, mas é um padrão muito legal e esta é uma unidade sobre formação de padrões, então nós vamos seguir assim mesmo. Eu vou deixar isto aqui, por enquanto, e talvez ele vai se difundir mais. Talvez ele precise de mais tempo, vamos ver. Bem, na difusão, se tivermos uma região onde o roxo o que quer que isto seja, vamos chamá-lo de "roxo". Onde o roxo está altamente concentrado, ele tende a se espalhar - a se difundir. As coisas querem ficar em uma concentração uniforme. Uma maneira de pensar sobre por que a difusão é do jeito que é - por que a difusão ocorre - é que ela é consequência do movimento aleatório de partículas individuais. Se imaginarmos que as partículas roxas individuais estão se movendo no líquido, assim como tudo se move aleatoriamente em um fluido - gás ou líquido - a consequência de todos esses movimentos aleatórios é a tendência a diminuir qualquer desuniformidade. Então, se imaginarmos uma situação em que temos 100 pessoas em um quarto e estão todos andando ali aleatoriamente, seria muito pouco provável que, de repente, todos estivessem no meio, em um canto ou algo parecido. Se eles estivessem andando aleatoriamente, esperaríamos que eles passassem o mesmo tempo em todos os lugares. Da mesma forma, se tivéssemos várias pessoas em um quarto, andando aleatoriamente, talvez 100 bêbados em um quarto, nós os colocaríamos todos muito próximos em um local e nós os deixaríamos ir. Eles irão cambalear aleatoriamente e poderíamos esperar que eles iriam, mais ou menos, encher o quarto uniformemente. É assim que eu penso sobre difusão. É uma consequência lógica- uma consequência inevitável, na verdade- do movimento aleatório de várias partículas. Outra forma de pensar nisso, em nível menos microscópico, é, simplesmente, que substâncias tendem a se mover de regiões de alta concentração para regiões de baixa concentração Se a concentração é a mesma, em média, a substância não irá se mover. Porém, se houver maior concentração aqui e menor ali, haverá movimento - difusão- neste sentido. Então, o principal é que difusão é um processo de transporte, que tende a equilibrar, a suavizar qualquer diferença. Eu vou descrever isso matematicamente daqui a pouco. Bom, mais uma coisa. Vejamos, 10 minutos se passaram desde que eu fiz o primeiro experimento. E aqui vocês podem vê-lo - prometo que não sacudi isso. Ainda vemos algumas faixas aqui, mas como eu havia dito, demorou mais que eu esperava, o roxo ficou uniforme. E se eu esperasse mais 10 minutos ou 20 minutos, ficaria mais uniforme ainda Então, difusão é um processo - ele acontece sozinho - que tende a suavizar diferenças de concentração de algo. E a última coisa que quero dizer a respeito deste exemplo é que ele mostra que há taxas diferentes de difusão. Eu não havia usado esse tipo de colorante antes. Acabei de comprá-lo há algumas horas. O que quer que seja que há nele, não se difunde muito rapidamente. Então, demorou mais do que eu esperava, mas ainda se difunde. Podemos também pensar que algo que se difunde muito mais rápido - talvez menos viscoso - tem moléculas mais leves. Mas o principal é que a difusão tende a igualar diferenças entre concentrações e quantidades, substâncias, coisas diferentes devem ter taxas de difusão diferentes.