Resumamos la unidad 8
El tema de la unidad 8
fue los atractores extraños.
E introdujimos
atractores extraños
con muchos ejemplos.
El primer ejemplo, fue
el mapa de Henon.
Éste es un mapeo discreto bidimensional,
con dos variables: x e y,
y saltan en el tiempo,
del tiempo t1 a t2 y a t3,
pero siguiendo esta regla.
Ésto dice que los siguientes valores de x e y
son una función de los valores actuales x e y
y de estos dos parámetros a y b.
Y observamos comportamiento caótico
para algunos valores de los parámetros.
Éstos son algunos de los valores de parámetros caóticos
Ésto era lo estándar y no descubierto
Y este comportamiento aperiódico,
dependencia sensible de las condiciones iniciales,
pero lo que es nuevo en este capítulo,
es representar x versus y
Vemos una estructura complicada, un atractor.
Y usamos un software para ampliar
y entonces vemos que tiene una estructura fractal.
Que cada vez que creeis ver una línea,
en realidad está compuesto por 2 líneas,
y ésto son curvas dentro de curvas dentro de curvas,
aquí en la forma.
Así que, es un atractor complicado y muy estructurado
Parece muy diferente
de este comportamiento desoredenado, irregular y aperiódico
que se ve aquí.
Así que, este es un atractor extraño.
Y, ¿qué es un atractor extraño?
Bueno, son dos cosas:
Es un atractor, y recordad que ésto significa
que las órbitas cercanas son atraídas hacia él.
Es estable. Si estás en el atractor
y sois empujados fuera,
sois atraídos de nuevo hacia el atractor.
Sin embargo, en los atractores extraños,
la mayor parte del movimiento es caótico,
lo que significa que las órbitas son aperiódicas
en el sentido de su
dependencia sensible a las condiciones iniciales.
Así que, es un atractor que es caótico en sí mismo,
que atrae una órbita caótica.
Así que, ese fue el mapa de Henon,
y después otro ejemplo.
Las ecuaciones de Lorentz.
Este es un sistema
de tres ecuaciones diferenciales,
y el sistema dinámico es una regla
que nos dice cómo x, y, z
dependen del tiempo,
cómo cambian con el tiempo.
Y esta regla se especifica con derivadas,
con tasas de cambio.
Y los tres parámetros en letras griegas
sigma, rho y beta,
si los fijamos con valores particulares,
Podemos resolver para x, y, z
usando el ordenador.
Y este es un ejemplo de ello.
Vemos ciclos aperiódicos
en las tres variables.
Hay cierta regularidad en el tiempo,
pero la amplitud de estos movimientos,
y si están arriba o abajo,
varía de forma aparentemente aleatoria.
Así que, de nuevo, podemos representar
ahora x, y, z versus cada una de las otras
o sea, representar esta trayectoria
en un espacio de fases tridimensional.
Y si hacemos ésto,
obtenemos el atractor de Lorenz.
Y esta órbita,
se encuentra en el atractor extaño.
Y, al igual que el atractor de Henon,
es un atractor extraño porque atrae
y porque el movimiento en el propio atractor
tiene dependencia sensible de las condiciones iniciales,
el efecto mariposa.
Otra vez, como recordatorio,
como este es un sistema determinista,
las líneas en el espacio de fases
no se pueden cruzar.
Parece que sí, pero es porque
una está sobre la otra.
Así que, para poder hablar de
estas ideas de estirar y doblar
presentaré un sistema dinámico mas,
que quizá sea un poco menos conocido,
pero es uno de mis favoritos,
y son las ecuaciones de Rossler.
Así, como las ecuaciones de Lorentz,
se trata de un sistema de tres ecuaciones diferenciales diferentes.
Disculpad, pero acabo de darme cuenta
de que esta dt está mal,
pero solo un poco.
Así que, son 3 ecuaciones diferenciales,
dx/dt, dy/dt, dz/dt,
tres parámetros, a, b y c
y, escogemos valores para los parámetros,
podemos resolver estas ecuaciones con el ordenador,
y obtenemos una solución en x,
una solución en y,
y una solución en z.
De nuevo, vemos que hay alguna
regularidad temporal,
en sus ondas
pero la amplitud de las ondas
es aparentemente aleatoria.
Y estoy orgulloso de la trayectoria z,
es sólo una observación estética,
esta parece particularmente...
quiero decir, ésto es todo caótico, pero algo periódico,
pero, no sé, de alguna manera,
ésto parece más caótico que el resto.
Si tuviérais una función que se comporta
de esta manera, al menos yo,
no podría adivinar de inicio,
que debería seguir una regla sencilla.
De cualquier forma, igual que con
las ecuaciones de Lorentz,
podemos representar x vs y vs t,
representar ésto en el espacio de fases tridimensional,
y cuando hacemos esto,
vemos otro atractor extraño.
Este es el atractor de Rossler.
Y ésta es una imagen de alta resolución,
y aquí, la fuente de ésto es Wikipedia.
Y las órbitas se mueven alrededor
a veces, van muy hacia arriba,
pero casi siempre están girando en esta dirección,
aunque a veces suben y bajan
Entonces, mostré con diferentes diagramas
qué es lo que hace ésto,
Las soluciones se mueven por aquí,
la línea se mueve por aquí,
se estiran arriba, en esta dirección,
y después, se curvan de vuelta hacia abajo.
Así que, se estiran y doblan,
estirando y doblando,
estirando y doblando.
Y argumenté
que este estiramiento y curvatura
está en el centro del caos.
Así que estiramiento y plegado, como mencioné,
es el ingrediente geométrico clave,
o ingredientes, del caos.
El estiramiento,
separa las órbitas cercanas, y de ahí viene la
dependencia sensible de las condiciones iniciales.
Si todas las órbitas son separadas,
entonces, las pequeñas diferencias
crecen muy rápido.
Pero tambien necesitan doblarse,
de otro modo, las órbitas
se alejarían por siempre,
y legarían al infinito.
Así que, necesitan algo de estiramiento,
y después algo de plegamiento.
Estirar y después doblar.
Como cuando uno está amasando.
Así que, el estiramiento y doblez
que uno puede ver, espero,
en estos atractores extraños tridimensionales,
en particular, el atractor de Rossler,
es que el estiramiento y doblez
también ocurren en mapas unidimensionales.
Así que, la ecuación logística,
y cualquier otra con la misma forma
que la ecuación logística,
realiza estiramiento y plegamiento.
Y esto explica,
quizá no explica completamente,
pero ofrece alguna indicación
de cómo los mapas unidimensionales
pueden capturar algunas características
de sistemas de mayor dimensión.
Todos envuelven estiramiento y doblez.
Finalmente, porque es importante,
y, espero, una idea interisante y divertida
subrayaré de nuevo los atractores extraños
Primero, sólo señalar
que hay estructuras complejas.
Éstas son formas interesantes,
que normalmente son fractales,
y surgen de sistemas dinámicos muy sencillos.
El movimiento en el atractor mismo es caótico,
pero todas las órbitas son atraídas hacia el atractor.
Así que combinan elementos de orden y desorden.
Si iniciara la ecuación de Lorenz
en cualquier sitio, no puedo predecir
cuál será la órbita exactamente,
pero sé que va a trazar
la misma forma del atractor extraño.
Así que, es predecible,
porque sé cuál será la forma general,
pero no sé exactamente
cómo atravesará esta forma.
Así que, combina orden y desorden
previsibilidad y no previsibilidad.
Otra manera de decirlo,
es que el movimiento en un atractor
es localmente inestable.
Localmente inestable,
porque órbitas próximas acaban alejándose.
Es globalmente estable,
porque, no importa lo que pase,
la órbita va a trazar ese atractor extraño
de igual forma.
Voy a subrayar este último punto,
porque creo que es importante.
Es una de las hallazgos más importantes que
surgen del estudio de los sistemas dinámicos.
Y es que, los atractores extraños,
los sistemas con atractores extraños,
combinan órden y desórden,
previsibilidad y no previsibilidad,
de la siguiente manera:
Como habéis visto,
el movimiento en un atractor es caótico.
Esto significa que tiene
dependencia sensible de las condiciones iniciales,
el efecto mariposa.
Es tan sensible
a estas condiciones iniciales,
que se comporta como si fuera aleatorio,
o quizá, dependiendo de vuestro punto de vista,
es aleatorio de hecho.
Pero el punto es, que no es algo
que se pueda predecir.
Sin embargo, sí sé que,
aún sin conocer la trayectoria exacta
que tomará la curva en el espacio de fases,
sé que va a trazar ese atractor extraño.
Tiene que estar en ese atractor,
y también tiene que trazarlo de formas similares.
Y lo que significa es que
ciertos promedios o
propiedades estadísticas de esa órbita,
son completamente predecibles.
Podría decir,
con un alto grado de certeza,
que fracción del tiempo, por ejemplo,
la trayectoria tendrá un valor x positivo,
o un valor x negativo.
O con qué frecuencia alcanza un valor z
por encima de cierta altura.
Así que, esta estabilidad global,
da un tipo diferente de predecibilidad
la predicibilidad estadística.
Podemos hacer afirmaciones muy fiables,
sobre las propiedades en promedio,
pero no podemos hacer afirmaciones
sobre la trayectoria particular seguida
por una condición inicial particular.
Así que, una analogía podría
podría arrojar algo de luz.
Quizá no sea exactamente una analogía,
y quizá más fuerte que una analogía.
Pero la analogía es,
que el atractor extraño,
el hecho de que hay algunas
propiedades globales estadísticas estables
es como el clima.
Cosas que no cambian con el tiempo,
o que cambian muy poco con el tiempo.
La órbita exacta,
que es impredescible,
podría ser como el tiempo.
Así que, decimos que el tiempo es impredecible,
pero el clima es predecible.
Hay propiedades promedio estables bien definidas en el clima.
Y que cambian muy despacio,
comparadas con... ya sabéis.
Podrían cambiar en tiempos típicos,
en escalas de cientos o miles de años,
al menos.
Así que, podemos tener
comportamiento impredecible a corto plazo
con comportamiento a largo plazo predecible estadísticamente.
Bien, a veces la gente,
en estos debates tontos sobre el tiempo,
dice ¿"cómo puedes predecir el clima
cuando no puedes predecir el tiempo?"
El punto de los atractores extraños,
el fenómeno de los atractores extraños dice
que no hay ninguna inconsistencia lógica
entre la estabilidad y predicibilidad estructural o estadística a largo plazo
y la inestabilidad e impredicibilidad, a corto plazo o local.
Así que, los atractore extraños combinan
predictibilidad y no predictibilidad,
órden y desorden,
en los mismos sistemas,
en el mismo grupo de ecuaciones,
y son realmente interesantes de formas importantes.
Ahora, por supuesto, el clima es, creo, mucho más
que un atractor en el espacio tridimensional
pero nos da una idea correcta
del punto principal.
No estoy diciendo
que el clima es un atractor extraño,
pero el punto principal, es que no hay
ninguna inconsistencia lógica.
De hecho, es una situación normal
tener sistemas que son localmente impredecibles
pero globalmente predecibles
en un sentido estadístico o estructural.
Ok, ésto nos lleva al final de la unidad 8
que fue sobre los atractores extraños.
Son objetos matemáticos divertidos e interesantes
creo que con hermosas formas,
y creo que nos dicen cómo
el órden y el desorden están relacionados
y pueden combinarse de formas interesantes e importantes.
Qué aplicaciones exactamente hay
en las diferentes áreas de la ciencia,
probablemente varían,
dependiendo de estas áreas,
pero creo que es un resultado importante.
Así que, en la próxima unidad, unidad 9,
daremos un vistazo a la formación de patrones.
Esta unidad será algo diferente en carácter
será menos matemática,
y más simplemente mostraros resultados
de unos cuantos modelos matemáticos.
Y veremos qué sistemas dinámicos simples
pueden producir atractores extraños,
pueden producir desorden,
o comportamiento aparentemente desordenado,
el efecto mariposa.
Pero también pueden producir
patrones sorprendentemente muy complejos.
Así que, nos veremos la próxima semana.