El estiramiento y el enrollado es el ingrediente geométrico central para producir caos. Podemos ver esto en sistemas de 3 dimensiones que generan atractores extraños y el ejemplo principal es el atractor de Rossel Pero los mapas de 1 dimensión, también se estiran y se enrollan Déjenme mostrarles esto con algunas imágenes Sabemos que los mapas de 1 dimensión la ecuación logística pueden producir caos igual que los sistemas de ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones y la razón es porque pueden estirarse y enrollarse Dibujemos algunos ejes Esta sería la ecuación logística; sólo para recordar Es un mapa iterado, de vuelta a una dimensión, sólo una variable, X y obtenemos el siguiente valor de la variable, simplemente aplicando la función al valor actual de la variable No hay ecuaciones diferenciales, no hay derivadas, no hay cálculo simplemente el valor siguiente, es una función del valor actual y se repite Una función iterada como la que usamos cuando comenzamos el curso. Aquí está el esquema de una de estas funciones iteradas algo con el máximo simple, podría ser ecuación logística, la ecuación cúbica quien sabe... Esta función tiene ambos efectos, el estiramiento y el enrollado esta es una manera de ver esto digamos que tenemos dos condiciones iniciales la primera es azul y para darnos cuenta del próximo valor esto es Xn, esto es Xn + 1 cuál es el siguiente valor para este punto azul? Este es el valor siguiente, el punto azul va a aquí y aquí Intentemos con una nueva condición inicial Ahora algo en rojo cuál es el valor próximo del punto rojo? bueno le preguntamos a la función voy aquí, y aquí está La clave a notar es que los puntos azul y rojo están lejos y apartados uno de otro ahora luego de iterar esta función, o luego de aplicar esta función sólo una vez el punto rojo y el azul están más separados de lo que estaban antes esto es el estiramiento cuando uno realiza un acto de estiramiento las cosas se separan podemos verlo aquí, esta es una bandita elástica era un bucle cerrado y la convertí de una bandita elástica en un dispositivo de demostración del caos órdenes diferentes si yo estiro la bandita elástica el rojo y el azul se separan Esta región de aquí está estirada pero hay también un enrollado y déjenme ilustrarlo con otro color púrpura digamos que tenemos una condición inicial púrpura aquí cuál es el valor próximo?, puedo leer el gráfico, voy para arriba ok, el próximo valor está aquí Lo que tenemos que notar es que púrpura y rojo, empiezan muy separados pero terminan muy cerca y esto se debe a que esta función, que tiene esta forma, se enrolla en sí misma Dos condiciones iniciales que están en esta región y en esta región la pendiente es positiva, más grande que 1 separará, estirará y luego habrá una contracción aquí y las cosas siguen así hasta el infinito. Déjenme mostrarles esto de algunas otras formas Veamos si esto ayuda Déjenme dibujar los ejes Estoy pensando en la acción que ejecuta esta función, pero en el dibujo lo voy a hacer paso a paso Digamos que inicialmente, estoy pensando no en términos de puntos sino en toda una serie de puntos, esto podría ser una masa de pizza o una bandita elástica o algo así, qué es lo que pasa con todos estos puntos en los ejes de la función? Voy a imaginar que sigo los pasos paso a paso La longitud de esta curva es más larga que la longitud de esta región donde se dan las condiciones iniciales Ahora necesito estirar esto Voy a imaginar estirando esto de esta forma Tomo esto y los subo y lo estiro y luego voy a enrollar y ahora hagamos un poco de espacio por aquí Voy a realizar la iteración Piensen en todos estos valores finales los valores finales están aquí en este eje pueden imaginar que toman esta función y la comprimen, así todos estos valores quedan aquí, en el eje de las Y Se tiene que ver de esta forma, está doblado en este punto particular, se puede comenzar aquí o aquí Esto indica que para este valor de Y, X n+1 hay dos condiciones iniciales posibles que nos llevan a esto Ahora vamos a iterar esto es el último paso iteremos esto repitiendo el proceso tomaremos el valor de salida, este y lo colocamos de vuelta en el eje X como valor de entrada Y ahora estamos listos para empezar de nuevo Aplicamos la función acá esto que está estirado, vuelve a estirarse voy a hacer un esquema Es tomar esto y transformarlo en una parábola lo que quiero mostrarles aquí, es que a medida que iteramos este proceso aún en una sola dimensión, o estirando y enrollando, estirando y enrollando Un intento más de ilustrar esto Veamos como va Aquí está mi bandita elástica de nuevo Veamos Voy a imaginar de nuevo que mi función es una de estas parábolas Aquí hay una forma de pensar en esta función una forma rápida Aquí están mis condiciones iniciales dispersas Podemos pensar en que es un pedazo de masa de pizza o una parte singular de la masa que representan las condiciones iniciales para ver esta función estiro hasta aquí no es perfecto, se supone que no debería ser un triángulo, sino una parábola pero finjamos que lo es tengo que mover todo hasta aquí hasta el eje de las Y ahhhh Todo está en el eje de las Y y ahora voy a repetir el proceso tomo la bandita elástica y ahora está aquí abajo notemos que el azul (es difícil de ver), puntos azules y rojos se separan y luego voy a repetir este proceso, de hecho la bandita elástica se estira más y más cada vez, pero el vínculo total de la bandita elástica se mantiene debido a que la vuelvo a doblar en sí misma El punto principal es, espero que esto sea ejemplificador, es que las funciones de 1 sola dimensión, como la ecuación logística se estira y se enrolla en el mismo modo de modo similar a las de 3 dimensiones El estiramiento el enrollado es la clave el ingrediente nuclear, el ingrediente central para el caos. Recordemos que en la unidad 6 examinamos el fenómeno de la universalidad Vimos el caos de período doble y medimos su tasa de 4.669 cuanto más grande es una región del período en relación a la próxima Luego observamos el mismo número en muchas diferentes funciones y argumenté que ese número será el mismo para todas las funciones de 1 dimensión con un cuadrático máximo simple Luego discutimos sobre fenómenos físicos reales, que muestran el período doble del caos, el goteo de una canilla, las reglas de convección en un pequeño balde de fluído. Y otra vez observamos como aparece este número 4.669 Esto es un gran misterio, es una gran pregunta, cómo es que una función de 1 sola dimensión, que claramente no es realista, captura algunos números que se pueden medir en un sistema físico real, en un sistema dinámico de muchas dimensiones. La respuesta es que el elemento central que une estos mapas de 1 dimensión y los fenómenos de más dimensiones es la idea de estiramiento y enrollado Cuando algo se torna caótico, tiene que estar estirándose y enrollándose de la misma forma. De alguna manera estos mapas de 1 sola dimensión, son aproximaciones muy buenas en muchos casos, de los procesos de estiramiento y enrollado que los sistemas de muchas dimensiones llevan a cabo. Debo mencionar que hay muchas técnicas para extraer las dinámicas que describen los mapas de 1 o muchas dimensiones, desde los sistemas dinámicos de 3 o más dimensiones en el espacio de fase o las ecuaciones diferenciales A veces se la llama sección de Poincaré o el mapa del primer retorno Esto va un poco más allá del alcance de este curso pero la mayoría de las técnicas sobre sistemas dinámicos cubren estos temas Por último debo mencionar, que estos sistemas dinámicos de muchas dimensiones Rossler, Lorenz, y el mapa de Hennon, pueden dibujarse diagramas de bifurcación para ellos o computar estos diagramas de bifurcación uno no puede ver la duplicación del período y uno puede medir estos números para 4.669, la ecuación de Rossler lleva adelante la ruta hacia el caos de la duplicación del período también Resumiendo, el estiramiento y el enrollado tal cual como lo hicimos con la pizza es un ingrediente geométrico central para que aparezca el caos Se necesita el estiramiento para producir sensibilidad a las condiciones iniciales y el enrollado mantiene las órbitas vinculadas