¡Hola a todos! Estoy en mi cocina, esta mañana Haciendo una pizza para cenar hoy a la noche Pero resulta que también estoy haciendo un poco de caos El proceso de hacer una pizza es el mismo, en términos geométricos, que es responsable de la mayoría de la conducta caótica que observamos Cuando alguien necesita una pizza todo lo que hacemos es estirar la masa y luego enrollarla y se repite ese proceso Esa es la estructura de construcción de la masa y esto mezcla las cosas también El proceso de estirar, cuando estiro estoy tomando dos puntos que están aquí y los muevo lejos uno de otro y eso tiene que ver con la sensibilidad a las condiciones iniciales. Si pensamos en esta masa como un espacio de fase, en vez de una masa, el estiramiento del espacio significa que puntos cercanos en las condiciones iniciales son separados Pero también sabemos, que para que algo sea caótico las órbitas tienen que estar vinculadas y este acto de enrollar de nuevo en sí mismo, es lo que nos asegura que las órbitas están vinculadas. Entonces dentro de cualquier proceso caótico podemos encontrar este proceso de estiramiento y enrollado Para ver como el proceso de estiramiento y enrollado se aplica a los sistemas dinámicos, vamos a presentar un conjunto más de ecuaciones diferenciales, la ecuación de Rossler Poseen atractores extraños, conocidos como el atractor de Rossler que creo es un buen ejemplo de los atractores extraños, porque allí se escoge, de forma clara, como el estiramiento y el enrollado se manifiesta a sí mismo en el espacio de fase como caos Veamos pues Aquí tenemos la ecuación de Rossler como la ecuación de Lorenz son tres ecuaciones diferenciales ordinarias que están emparejadas Hay tres variables, X, Y y Z y hay tres parámetros, a. b y c Tenemos que elegir los valores de los parámetros Yo elijo estos tres Y una vez que elegimos esos valores para los parámetros tenemos un sistema dinámico que determinan como estas 3 variables X, Y y Z, se relacionan con el tiempo y como es usual en las ecuaciones diferenciales, las reglas son indirectas y describen la velocidad; la regla describe la velocidad, la tasa de cambio no nos da los valores en forma directa pero con algo como los métodos de Euler o Runga Katta podemos convertir estas reglas indirectas en trayectorias para X, Y y Z. Necesitamos valores iniciales y luego la regla nos dice qué es lo que va a pasar de aquí en adelante, es un sistema dinámico determinista Si pongo estas ecuaciones en un programa el mismo programa de la ecuación de Lorenz sólo cambie lo que estas funciones hacen obtenemos tres soluciones, para X. Y y Z Déjenme mostarles esto Para estos valores de parámetros, La ecuación de Rossler es caótica aperiódica, tiene sensitividad a las condiciones iniciales Hay alguna clase de periodicidad o de período regular en los zigzags pero los zigzags no son regulares en sí mismos Parece que en esta región se estabiliza en algo, pero luego están estos graciosos períodos En particular me gusta lo que ocurre con Z, como se ve esa trayectoria Voy a correr esto un segundo Estos picos parecen juntos, pero luego no quiero subrayar, que esta conducta irregular, parece aleatorio estas raras formas, vienen de estos sistemas dinámicos deterministas. Tenemos soluciones para X, Y y Z y ahora vamos a ver cómo se ven en el espacio de fase Graficamos X, Y y Z en el mismo eje perdemos la información del tiempo pero podemos ver como X, Y y Z están relacionadas Y de forma que no nos sorprende obtenemos un atractor extraño Esta es la gráfica inicial de esto esto es la graficación de la información que les mostré previamente sobre las coordenadas X, Y y Z Está zigzagueando, haciendo ciclos, de forma aperiódica en las tres direcciones Vemos zigzag en X zigzag en Y y zigzag en Z, arriba y abajo a veces algunos de estos Z zigzags son muy muy pequeños A veces se mueve alrededor del círculo y no va para arriba en lo absoluto y a veces tenemos un gran pico, este pico de aquí se corresponde con este de aquí llega hasta 14, luego tenemos un par de protuberancias medianas aquí Como antes, les voy a mostrar esto, pero como antes, esto es un atractor todo tipo de condiciones iniciales diferentes que arrastran hacia adentro y una vez que las órbitas están ahí, se mueven en forma aperiódica y tienen sensibilidad a las condiciones iniciales Otra vez, les recuerdo que las curvas en el espacio de fase o en el plano de fase nunca se intersectan Nunca se cruzan, pueden estar una arriba de la otra, así, pero nunca se cruzan siempre hay un espacio entre ellas Esa es una propiedad del determinismo Si alguna vez se tocan exactamente entonces hay una única dirección asociada con cada punto en el espacio y sólo pueden seguir un único camino Este es el atractor extraño es difícil de ver, desde aquí, déjenme mostrarle otros gráficos vamos a pensar geométricamente en lo que está sucediendo aquí Aquí hay un dibujo y podemos ver aquí está éste, una mejor resolución con muchas, muchas más trayectorias, graficadas en forma fina lo que quiero que vean es lo siguiente tenemos esta banda de órbitas, que se mueven alrededor aquí y luego en esta parte, las órbitas son estiradas hacia arriba, es como el estiramiento de la masa, estirar la masa para hacer la pizza, estirando afuera luego esto es muy amplio y se enrolla sobre sí misma y aquí, esta banda de aquí, imaginen que es una bola de masa, se estira y luego se vuelve a enrollar en sí misma por eso es que vemos dos bandas y luego se estira otra vez, se vuelve a enrollar en sí misma y así sucesivamente Lo que quiero decir es que el movimiento de este atractor extraño, incluye el estiramiento y el enrollado, el estiramiento es el responsable de la sensibilidad a las condiciones iniciales y el enrollado mantiene las órbitas juntas. Déjenme mostrarles dos imágenes más de esto Este es un dibujo de línea del artículo, de Chris Letellier y Rossler mismo es sólo un esquema que muestra qué sucede con esto, el movimiento aquí otra vez es en esta dirección y así el movimiento va en esta dirección hay un estiramiento y luego se tuerce y ese movimiento se repite una y otra vez si vos estás aquí, en la banda normal la trayectoria no puede dar la vuelta pero si estás aquí la trayectoria sí da la vuelta Otra forma de ilustrarlo es viendo el estiramiento y el enrollado que ocurre Aquí está el estiramiento Se hace más ancho y aquí el enrollado Aquí hay una última ilustración de esto Este es un pequeño modelo de 3 dimensiones del atractor de Rossler disculpen que es amarillo, pero es lo que había en la fotocopiadora no fue mi primera elección, pero... Déjenme acomodarlo, así quedan orientados Hay movimiento en este sentido, se estira y luego se enrolla Si uno se encuentra en esta región uno no es enrollado, si uno está en esta región, en este otro lado en esta región, uno es enrollado, si uno camina en este sentido, uno vuelve hacia adentro, antes de ser reinyectado aquí pero si uno está aquí, uno no vuelve hacia adentro Esta forma muy simple es es una forma de ver el estiramiento y el enrollado a través de este movimiento en el espacio de 3 dimensiones Esto nos muestra que los atractores extraños involucran el estiramiento y el enrollado. El estiramiento y el enrollado en la ecuación de Lorenz pero hay otras cosas también y son más complicadas Yo creo que de esta forma es más fácil de ver; me gusta por que de alguna forma es la manera más simple de ver un atractor extraño No es una manera formal, sino una manera cualitativa, subjetiva Y creo que es una motivación para entender el atractor de Rossler, es la forma más simple. Nos muestra las extrañas características del atractor las órbitas caóticas y estables y es lo menos complicado que puede ser Otra vez, los atractores extraños involucran el estiramiento y el enrollado el estiramiento nos da la sensibilidad a las condiciones iniciales, el efecto mariposa y el enrollado es lo que mantiene a las órbitas vinculadas