Hier is het programma die de banen voor het Lorenz systeem kan plotten.
Het probleem vereist ons drie setjes parameters in overweging te nemen.
We doen de eerste, dat is 'Sigma' en is 'Sigma' is 10 en 'rho' moet 9 zijn.
En 'beta' kan 2,66 blijven.
Wanneer ik nu herstart, kan ik de baan zien.
En het draait als in een spiraal naar binnen
en het nadert een vast punt.
Nu vraag ik mij af, of bij alle initiele omstandigheden
dit vaste punt zal worden bereikt.
Daarom ga ik de 'variation' veranderen.
Dit betekent dat bij de herstart, de initiële waarde tot 21,9 van de oorsprong
af zal liggen.
Ik klik weer op herstart.
En nog een keer.
En nog maar een keer.
Interessant, nu krijg ik een andere uitkomst.
Kijk, hier draait het nu richting een vast punt.
Dat geeft ons dus een indicatie van het effect.
Eerder zagen wij het vast punt hier liggen, paar keer zelfs.
Maar, bij deze gewijzigde initiële waarde, zien wij het vaste punt nu hier.
We blijven over met enkel een vast punt, deze baan eet haar eigen staart.
Een goede manier om te zien wat er nu precies aan de hand is,
is door simultaan een aantal verschillende series te plotten,
ieder met wisselende initiële waarden.
Dit verander ik naar 20. Ik zal de punten in de serie op 100 zetten.
En ik ga 'spread' ook een hoger getal zetten.
'Spread' geeft de spreiding in initiële waarden aan.
Laten we dit herstarten.
En, hier zien we dat alle initiele waarden daarin draaien.
Laat ik de 'spread' op maximaal zetten.
Helemaal op de waarde 10.
Nogmaals weer herstarten.
En ik verlaag het aantal punten in de series naar 50.
Beide veranderingen heb ik nu doorgevoerd, opnieuw herstarten.
OK, nu is te zien dat sommige initiële waarden hierin draaien en andere daarheen.
Beetje inzoomen en dan is die draai nog steeds zichtbaar.
Laten we dit experiment nu nogmaals uitvoeren.
Opnieuw veel verschillende initiele waarden.
Twee verschillende spiralen, op twee verschillende punten.
Dus ik kan nu zeggen dat dit dynamische systeem
twee verschillende vaste punten kent.
En afhankelijk van waar je start, zal bepalen bij welk vast punt je uitkomt.
Dit is best een lastig probleem, met gedrag wat we nog niet eerder zagen.
Het is een situatie waarin we twee vaste punten hebben,
op basis van dezelfde set aan parameters.
Dan nu het tweede probleem.
Ik heb het systeem gereset naar de originele waarden.
Maar, voor het tweede probleem moet 'rho' niet 28 maar 16 zijn.
Laten we nu dit dan herstarten
en een enkele baan plotten.
En we kunnen zien dat het begint te draaien, het zou periodiek kunnen zijn.
Maar, die spiraal groeit zelfs en het flipt naar de andere zijde
en tevens heen en weer.
Dit ziet er dus uit als een vreemde aantrekker,
het is aperiodisch gedrag.
We kunnen dat ook testen met het volgende.
Neem het aantal series en wijzig deze naar 20.
Dus zullen de oplossing voor 20 verschillende initiele waarden plotten.
Wijzig het aantal te plotten punten naar 100.
Verhoog de 'variation', dus hoever we van de oorsprong starten.
En dan de 'spread', dus het verschil tussen initiële waarden.
Ze starten dus vrij dichtbij elkaar, en we zullen zien of ze
bij elkaar blijven of zich verspreiden.
Laten we herstarten.
We zien nu als snel dat de de initiële waarden die dichtbij
elkaar lagen, zich nu verspreiden.
Voor mij is dit een teken dat dit een vreemde aantrekker is.
Het is een aantrekker omdat banen die erg ver lagen, zoals deze,
toch naar deze aantrekker worden getrokken.
En zodra het op de baan van aantrekker ligt, wordt de beweging aperiodisch.
En is er sprake van sensitieve afhankelijkheid van initiële waarden.
Op een bepaald moment zullen we deze baan zich dus zien verspreiden.
Laten we kijken of dat ook echt gebeurd.
Wellicht zijn we naar een punt gedraaid die bijna periodisch is.
Er is cyclus, maar we kunnen zien dat dit groeit.
Het herhaalt zich dus niet echt.
Het plotten van al die banen vertraagt nogal mijn computer volgens mij.
Hopelijk raak je er niet verveeld van, maar draagt dat bij aan de spanning.
De cyclus groeit, maar verschuift het ooit nog eens naar de andere kant.
Ik geloof oprecht dat dit zal gaan gebeuren.
Mijn arme computer is zo druk met al dat rekenwerk.
Dus 20 verschillende banen die ronddraaien.
als gevolg van de aanwezigheid van deze vreemde aantrekker.
Ze worden nu uit elkaar getrokken.
Ronddraaiend.......
En nu kunnen we eindelijk zien dat ze zich gaan verspreiden.
Ik vermoed dat al het rekenwerk mijn laptop nogal vertraagd, dit
zou een stuk sneller moeten gaan.
Maar de kern van het verhaal is, dat dit inderdaad een vreemde aantrekker is.
We hebben aperiodisch oplossingen
en de beweging op de aantrekker is chaotisch omdat
nabijgelegen initiële waarden - ze lagen eerst allemaal dichtbij elkaar-
uit elkaar gedreven worden.
Laten we tenslotte het laatste probleem doen.
Dus terug naar het originele scherm
en nu moet ik 'sigma' instellen op 3
en 'rho' moet helemaal worden verhoogd naar 60.
Laten we dat eens proberen.
Ik moet wel een beetje uitzoomen nu.
En het ziet er naar uit dat dit zal resulteren in een bepaalde cyclus.
Laten we dit nogmaals doen.
Het is hier begonnen en nu blijft het ronddraaien.
En, plot alleen de 1000 nabijgelegen punten en daarmee
eet deze baan op een bepaald moment haar eigen staart op.
We zijn een gesloten curve als deze, dat is een bepaalde cyclus.
Laten we dit nog eens herstarten om het nogmaals te zien.
Het blijft rond bewegen, maar nu nadert het die cyclus en blijft daarin.
Laten we dit nog eens op een andere manier bekijken.
Ik plot 10 initiële waarden. Elk met 100 punten.
De 'variation' zal behoorlijk ver weg starten.
De 'spread' zal ook vrij groot zijn van begin af aan.
Dus ik ga nu 10 initiele waarden plotten die ieder erg verschillend zullen zijn.
En ze worden allemaal in dezelfde cyclus getrokken.
We zien niet dat ze blijvend gaan verspreiden, integendeel;
al deze initiele waarden worden richting deze cyclus getrokken.
Die nu donker oranje kleurt, omdat deze zo nu zo vaak wordt gepasseerd.
Uiteindelijk zullen we zien dat die staart weer verdwijnt, omdat
het rond blijft draaien.
Dit is indicatie dat de punten zich niet verspreiden,
ze blijven in die cyclus.
En opnieuw plot ik zoveel punten dat mijn laptop er langzamer van wordt.
Daar hebben we het!
De punten verdwijnen nu.
Dus we zien opnieuw dat alle 10 initiële waarden
die aan het begin ver van elkaar af lagen,
allemaal in dezelfde cyclus getrokken worden.
Dus het gedrag voor deze parameters is dat
initiële waarden in deze aantrekkende cyclus getrokken worden.