Hola y bienvenidos a la unidad ocho.
Esta unidad trata sobre los 'atractores extraños'.
Los 'atractores extraños' son objetos matemáticos
que residen en espacio fásico y combinan
elementos de orden y desorden,
predictibilidad e impredictibilidad,
en formas divertidas e interesantes.
Introduciré el tema mediante un par de
ejemplos. Veremos el mapa de Hénon
y las ecuaciones de Lorentz, que ya vimos
previamente en la unidad siete,
y veremos que ambas poseen 'atractores extraños';
y les mostraré lo que eso significa
desde varios puntos de vista.
Luego hablaré un poco de manera general
sobre transformaciones y espacio fásico
y en el resumen de esta unidad daré
algunas ideas de porqué creo que los
'atractores extraños' son interesantes,
divertidos e importantes.
Empecemos mirando de nuevo el mapa de Hénon.
Aquí está es mapa de Hénon, es una función iterativa
una función iterativa bi-dimensional.
Hay dos variables, X e Y
Y el siguiente valor de X e Y es solo una
función de los valores previos de X e Y.
Esto te dice lo que es la función.
Entonces inicias con una condición inicial en X e Y
y esto te da una serie de tiempo
de Xs y una serie de tiempo de Ys.
Puedes elegir algunos valores de parámetros
e iniciar [inaudible]. Elijo "a" = 0.8
"b"= 0.3 y necesitamos escoger condiciones iniciales
Creo que elijo 0.2 y 0.2 para X e Y;
luego solo aplicamos esta regla una y otra vez
iteracionando estrictamente la función
cómo hemos hecho antes en el curso
y si hacemos eso en un programa en la web,
lo cuál mostraré de nuevo en un segundo,
pero ahora sólo mostraré una captura,
uno puede ver que la órbita alcanza
rápidamente el ciclo del período 2.
Esta es la serie de tiempo para X.
Esta es la serie de tiempo para Y... y ambas se menean,
repitiéndose cada dos pasos.
Si uno observa de cerca los números, uno
puede encontrar que oscilando entre estos
dos puntos... entonces tenemos...
[inaudible]... una X de -0.38...
lo cual vendría a ser este valor de aquí...
Y... cuando X es -0.38,
resulta que Y adquiere un valor de +0.38.
Y luego... el valor 'grande' de X,
el cual se relaciona con el valor 'pequeño' de Y,
El valor 'grande' de X es casi +1.3, más o menos +1.26.
Y luego... si X 'grande', Y 'pequeña'...
este valor resulta ser -0.12.
Este es un '+'.
Entonces, los puntos están oscilando
entre este y este, de ida y vuelta entre
uno y otro; puedo dibujar un diagrama de
estado final, como hice para la ecuación
logística, pero ahora este vendría a ser
bi-dimensional porque existe
X e Y donde sólo hubo X.
Para la conducta periódica en la
ecuación logística el diagrama de
estado final era dos puntos en una línea,
aquí el diagrama de estado final será dos puntos... en un plano.
Haré un boceto tosco de como esto se vería
y luego lo veremos en la pantalla de la PC.
(Sonido de marcador en papel).
Entonces, haré un boceto muy tosco de esto...
es -.5...
+.5...
+1.0...
+.5... -.5... OK.
Entonces, veamos, tenemos dos puntos: el primer punto
es X=-0.38 e Y=+0.38; así que tengo que ir
hacia la izquierda, aproximadamente a -0.4 y arriba cerca a +0.4...
Y ese sería el punto en el plano XY.
Ahora el siguiente punto, +1.26, que sería
más o menos aquí, -0.12 probablemente sería aquí...
Otra vez, estas escalas no son perfectas
ni este es un gráfico muy bonito pero
la idea principal es que el gráfico de
estado final para el Mapa de Hénon cuando tenemos
conducta periódica es tan sólo dos puntos
en un plano. Y recuerden que en el diagrama de estado final...
Mostraré esto otra vez...
Sólo nos interesa la conducta de largo plazo
por lo cual no dibujaré en este caso
los primeros 10 pero sí los 10 que quedan
Y luego todos estos puntos deben acoplarse
entre sí porque se replican desde
el mismo punto.
Entonces, volveremos a la versión
en pantalla de PC de esto en un segundo,
y observaremos este...
Este grupo de valores paramétricos, y los
compararemos con los valores que hemos
obtenido al final. Cambiaremos el valor de 'a' a 1.4,
y veremos un diagrama de estado final mucho más interesante.