Hagamos un resumen de lo que vimos en la unidad 7 Voy a presentar los sistemas dinámicos de 2 y 3 dimensiones Ecuaciones diferenciales de 2 y 3 dimensiones y funciones iterativas de 2 dimensiones el tema principal y nuevo para esta unidad es la idea de espacio de fase. Un plano de fase o un espacio de fase o en el caso descripto del sistema dinámico, mapa de Henon los gráficos de X e Y Comenzamos presentando la ecuación de Lokta Volterra y este fue el principal ejemplo de ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones Tenemos 2 ecuaciones veamos R de conejos (rabbits), creo que lo notan tenemos 2 ecuaciones diferenciales que operan con dos variables, R y F conejos, que dependen de los conejos y los zorros y los zorros dependen de los conejos y los zorros decimos que están emparejados, el destino de los conejos y de los zorros están interrelacionados Esto se conoce como la ecuación de Lokta Volterra en ecología o tal vez en economía es un modelo básico es el modelo más simple de la inteacción entre una presa y un predador Podemos resolver estas ecuaciones diferenciales usando el método de Euler y obtenemos como soluciones, dos curvas Estos son los conejos en función del tiempo y aquí están los zorros en función del tiempo y sabemos que están aisladas Tenemos estas dos soluciones en forma de curvas, pero tratando de ver qué es lo que está ocurriendo y como R y F, conejos y zorros están relacionados podemos graficarlos unos contra otros y deshacernos del tiempo La versión en 2 dimensiones de la línea de fase con la que trabajamos antes. Haciendo esto nos da una imagen como esta Las graficamos una contra otra y nos muestra como están relacionadas y en este caso se mueve de este modo en el diagrama, la población de conejos se incrementa, luego la población de zorros se incrementa o la población de conejos decrece y los zorros también decrecen y entonces los conejos vuelven a crecer Vemos como estos dos ciclos están relacionados. Este es el plano de fase A veces es útil mostrar soluciones diversas y diferentes en el mismo plano de fase. El equilibrio múltiple, puede mostrarlas a ambas y a veces esto se llama el portarretrato de la fase, nos da una mirada general de las características cualitativas de las ecuaciones diferenciales y por cualitativo, entendemos la convergencia de las órbitas. Este es el portarretrato de la fase para el sistema de Lokta Volterra y vimos como para diferentes valores iniciales de conejos y zorros obtenemos ciclos diferentes, en ningún caso no obtenemos ciclos Estos ciclos son neutrales, que significa que ni se atraen ni se repelen. Si uno está en el ciclo y se mueve fuera uno llega a otro ciclo, no se lo expulsa hacia afuera o se lo empuja hacia dentro Otro ejemplo, que conservo, el oscilador de van der Paul, otro sistema de ecuaciones diferenciales de dos dimensiones y este es interesante debido a que posee un ciclo límite El ciclo límite en sí mismo, es esta forma que se repite aquí y que nos permite ver que hay órbitas múltiples que se dibujan, es un atractor Aquí hay una órbita afuera luego se mete en el ciclo Aquí hay una de adentro, que es llevada hacia el ciclo En las ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones podemos tener soluciones aisladas, y podemos obtener ciclos que son atractores conocidos como ciclos límite. Hablamos algo sobre las consecuencias del determinismo en el plano de fase los sistemas dinámicos son deterministas es simplemente una regla que indica como X o Y cambian a lo largo del tiempo otra manera de decirlo es que las condiciones iniciales en las ecuaciones diferenciales especifican un sendero único en el plano de fase. Si les cuento cual es el punto de partida de la regla, hay una y sólo una solución para esa ecuación Como un efecto de lo dicho, las curvas en el plano de fase no pueden cruzarse si llegan a cruzarse, entonces violan la cláusula determinista. Quiere decir que a partir de ese punto hay dos curvas posibles y eso viola la noción del determinismo Las soluciones de las curvas en el plano de fase, no pueden cruzarse y esto trae consecuencias importantes El hecho de que las curvas no puedan cruzarse, limita la conducta posible en el largo pazo de las ecuaciones diferenciales de 2D El tipo de conducta que puede tener, bueno pueden tener puntos fijos estables o inestables, se espiralizan alrededor del punto puntos fijos estables o inestables las órbitas pueden tender al infinito, pueden haber ciclos límites como en el oscilador de van der Paul que es un tipo de conducta cíclica y periódica Esto es casi todo; hay un resultado importante, el teorema de Bendixon y Poincaré, que dice, simplificando un poco, que las órbitas aperiódicas vinculadas no son posibles en ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones y debido a esto, se asume que las ecuaciones diferenciales son "locas" y discontinuas o algo así La principal consecuencia de esto es que no podemos ver una conducta caótica en ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones de este tipo No podemos ver óribtas vinculadas aperiódicas Menciono, dicho sea de paso, para estas ecuaciones diferenciales presentamos soluciones basadas en el método de Euler pero hay algunas técnicas analíticas muy lindas para estas ecuaciones diferenciales de 2 dimensiones pero están más allá del alcance de este curso, ya que se necesita saber un poco de cálculo y un poquito de álgebra lineal Podemos caracterizar a los puntos de equilibrio de acuerdo a si la curva la función F(x) cruza el eje de este modo o de este otro modo Básicamente lo que esto significa es que depende de la pendiente. Es una pendiente positiva o una negativa Es análogo en 2D pero deben ser resueltas con dos matrices en vez de con una pendiente simple. Todo esto está en la mayoría de los libros de texto, que tienen un abordaje moderno de los sistemas dinámicos; hay muchos libros de texto hoy día. Si quieren saber más no va a ser difícil encontrar referencias adicionales. Estas fueron las ecuaciones diferenciales de dos dimensiones. Veremos ahora funciones iteradas de 2 dimensiones Es como la ecuación logística, una función iterada el tiempo se mueve de a saltos, la población se mueve de a saltos pero ahora vamos a tomar en cuenta dos cosas: X e Y Este es el próximo valor de X es esta función del valor actual de Y y X y el próximo valor de Y en este caso es una función únicamente de X Este es el mapa de Henón es un caso de estudio muy conocido La historia para funciones iterativas de 2 dimensiones es muy similar a las de 1 D Pueden haber puntos fijos, puede haber una conducta cíclica y pueden haber una conducta aperiódica, puede haber caos Lo nuevo es que podemos graficar estos puntos de X e Y en una grilla de 2 D, como la que tengo aquí esta es otra forma de mirar los patrones de las órbitas que estamos creando Y gastaremos un montón de tiempo en esto en la próxima unidad. Veamos, sólo un poco más sobre las funciones iterativas de 2 dimensiones Matemáticamente son muy similares a las funciones iterativas de 1 dimensión las órbitas pueden ser periódicas y podemos tener también una conducta caótica. Recordemos que la conducta caótica está limitada, tiene órbitas aperiódicas y tiene sensibilidad a las condiciones iniciales Por último veremos las ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones El ejemplo que voy a usar es la ecuación de Lorenz Aquí tenemos 3 ecuaciones diferenciales las variables son X, Y y Z Este es un modelo simplificado de la convección atomsférica Los orígenes físicos de este modelo no son importantes para lo que vamos a hacer acá hay 3 parámetros, son letras griegas sigma, ro y beta Esta es la regla para ver como tres cosas varían a lo largo del tiempo, en vez de 2 Si usamos el método de Euler para obtener una solución para esto obtenemos tres curvas con las soluciones X contra el tiempo, Y contra el tiempo y Z contra el tiempo Podemos graficarlas, en este caso podemos ver un zigzag periódico en todas ellas Puede ser interesante y divertido graficar X, Y y Z, una contra otra Esto es como un plano de fase, pero como ahora hay una Z, es un espacio de fase Es de 3 dimensiones Déjenme mostrarles algo más interesante Así es como se ven estas soluciones periódicas en el espacio de fase sube y baja en el eje de las Z y de lado a lado en las X y de lado a lado en las Y y conforma esta curva con forma de rulo Parece que estas líneas se cruzan, pero no lo hacen en la realidad, porque es un espacio de 3 dimensiones, entonces esta línea está por encima de esta otra Es como estos dedos, parece que se cruzan pero no lo hacen, porque están en un espacio de 3 dimensiones Las curvas en el espacio de fase no pueden cruzarse pero como el espacio es de 3 dimensiones las curvas pueden estar por encima o por debajo, unas de otras y esto significa que para las ecuaciones diferenciales de 3 D, las curvas de las soluciones pueden enroscarse unas con otras, sin verdaderamente curzarse vemos así una conducta mucho más complicada en ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones que en las de 2 D En particular las ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones pueden ser caóticas Exploraremos el caos en estas ecuaciones diferenciales de 3 D y en las funciones iterativas de 2 D en la próxima unidad y estas exploraciones serán, en la mayoría de los casos en el espacio de fase, estaremos mirando como se ven las cosas en el espacio de fase y encontraremos algunas sorpresas interesantes y divertidas Esto nos lleva al final de la unidad 7 En esta unidad vimos sistemas dinámicos en 2 y en 3 dimensiones En algún sentido la historia es la misma que en 1 dimensión Los sistemas dinámicos, recordemos, son únicamente una regla determinsta que describe cómo las cantidades cambian a lo largo del tiempo Para sistemas de 2 y 3 dimensiones registramos 2 o 3 cantidades en vez de 1 Las soluciones son mecánicas y son las mismas escencialmente, sin importar cuántas variables queremos registrar símplemente obedecemos la regla eso es lo que un sistema dinámico nos dice que tenemos que hacer Sin embargo, visualizar estas soluciones para sistemas con muchas dimensiones es un poco más interesante y divertido porque en 2 y 3 dimensiones son más interesantes y divertidas que las de 1 dimensión y en particular, para ecuaciones diferenciales con más dimensiones vemos conductas más complejas y más interesantes y ese será el tema de la próxima unidad, unidad 8, que es sobre atractores extraños veremos esas estructuras increíbles que combinan orden y desorden en formas interesantes y sorprendentes Nos vemos al semana que viene en la unidad 8